Гиперболический угол

[alves]

Почему гиперболический угол равен удвоенной площади, ограниченного им сектора. Прочитал два учебника, везде это вроде как по определению. Помогите понять как это следует из определения.

добавил рисунок
a - угол
a/2 - площадь сектора

[Urnwestek]

Угол, вроде как, не ограничивает область конечной площади. Или вы про то, что площадь треугольника равна его угловому дефекту?

[alves]

добавил рисунок в первый пост

[Munin]

alves в сообщении #809575 писал(а):

Помогите понять как это следует из определения.

А какое у вас определение? Бывают разные. В том числе, и геометрическое, прямо это и говорящее.

[provincialka]

Ну, найдите площадь с помощью интеграла. А в интеграле сделайте гиперболическую замену.

[alves]

определение скорее всего геометрическое и есть.
типа такого: если есть точка P на гиперболе, то ее проекция на ось x равна $cosh t$, на ось y $sinh t$, где t - удвоенная площадь сектора.

-- Сб янв 04, 2014 23:45:17 --

provincialka, чтобы подсчитать площадь нужно знать свойства гиперболических функций, которые сами получаются из того, что площадь равна половине t.

[provincialka]

Ну, тогда в чем вопрос? Для меня гиперболические функции задаются через экспоненту.

[alves]

Нет, ну если, например, исходить из аналогии с тргонометрическими функциями, то там угол определяется явно не как площадь, или я ошибаюсь ?

[Urnwestek]

Там угол (в частности функции косинуса и синуса) можно определять десятками разных способов.

[Munin]

Можно определить и как площадь. Но сектора круга, а не гиперболы, соответственно.

[Urnwestek]

Munin в сообщении #809596 писал(а):

Можно определить и как площадь. Но сектора круга, а не гиперболы, соответственно.

Не, ну такое определение вроде не будет эквивалентно общепринятому. Лучше уж длина дуги окружности.

[Munin]

Как это не эквивалентно? Длина дуги окружности и площадь сектора круга, вроде, пропорциональны :-)

[Urnwestek]

Да вроде квадрат длины дуги и площади сектора пропорциональны. Хотя может угол так где-то и определяется, но я не разу именно такого определения не видел.

[provincialka]

Откуда квадрат длины дуги? Площадь сектора равна $\frac12\varphi r^2$, при $r=1$ имеем $S=\frac12 \varphi$

[Urnwestek]

А, ну да...