Формула Остроградского

[Felt]

Добрый день. В выводе решения задачи штурм-луивилля встречается такая вещь как 1 формула грина(у меня в учебнике это называется так). Неясен один момент, каким образом делают вот это
$ \int_{H} \operatorname{div}(v(\vec x) p(\vec x) \operatorname{grad}(u))d \vec x=\int_{\partial H} v(\vec x) p(\vec x) \frac{ \partial u}{\partial \vec n} d \mu_{s} (\vec x)$
где производная по вектору n это производная в направлении нормали. Меня смущает здесь следующая вещь: применили теорему остроградского в противоположном случае и должны были получить поверхностный интеграл второго рода, если бы оставили на месте как было градиент. Интегрируемой функцией была бы векторная функция, но мы получили скалярную. Как это может быть?

[Munin]

Примените формулу Остроградского, получите градиент, а потом умножьте его скалярно на вектор нормали к поверхности. Что получится?

[Felt]

Получится производная по направлению нормали. Но по какому праву мы можем скалярно умножить на вектор нормали?

[ewert]

Felt в сообщении #808552 писал(а):

Но по какому праву мы можем скалярно умножить на вектор нормали?

Мы не можем, а обязаны: $ \int\limits_{H} \vec\nabla\cdot(v(\vec x) p(\vec x) \vec\nabla u)\,d\vec x=\int\limits_{\partial H} v(\vec x) p(\vec x) \vec\nabla u\cdot\overrightarrow{ds}$, где $\overrightarrow{ds}\equiv\vec n\,ds$.