Главная часть разложения

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Возникли проблемы с такой задачей:

Вычислить порядок и главную часть разложения $\alpha(x) = \sin(x)+\sin(5x)$ относительно $\beta(x) = 2x$ при $x \to 0$.

Порядок - это такое число $k$, при котором предел

$$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \frac{\sin(x)+\sin(5x)}{(2x)^k} \right )$$

равен числу, отличному от нуля. Такое происходит при $k=1$, значит порядок равен единице. Верно ли? А вот как вычислить главную часть?

Подскажите, пожалуйста

[Otta]

Ну дык разложите маленько по степеням $2x$. Невелика разница со стандартным разложением.

[ewert]

А откуда такая терминология -- "главная часть" применительно к ряду Тейлора?...

[Limit79]

Otta
А как разложить по степеням $2x$? Я понимаю как разложить по степеням $x$ и по степеням $x-a$, а вот по $ax$...

-- 29.12.2013, 13:57 --

ewert
Задание из методички.

[Otta]

Ну какая разница. По степеням $x$ разложите и выделите главную часть в виде $c(2x)^k$ уже оттуда.

[ewert]

Otta в сообщении #807499 писал(а):

и выделите главную часть

Ну вот, и Вы туда же. Это ни разу не часть, а член.

[Otta]

С кем поведессся - от того и заболеешь.

[Limit79]

Otta

$$\sin(x)+\sin(5x) \sim 6x - 21x^3 + o(x^5)$$

То есть главная часть будет $3 \cdot (2x)$ ?

[AV_77]

Г.М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, п. 57.

Цитата:

Если выбрана основная бесконечно малая $\alpha$, то простейшими бесконечно малыми естественно считать величины вида $c \alpha^k$, где $c$ - постоянный коэффициент и $k > 0$. Пусть бесконечно малая $\beta$ будет $k$-го порядка относительно $\alpha$, т.е. $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c$, где $c$ - конечное и отличное от нуля число. Тогда $\lim \frac{\beta}{c\alpha^k} = 1$, и бесконечно малые $\beta$ и $c \alpha^k$ называются эквивалентными: $\beta \sim c \alpha^k$. Эта простейшая бесконечно малая $c \alpha^k$, эквивалентная бесконечно малой $\beta$, называется ее главной частью (или главным членом).

[Otta]

Угу. Хватило бы до первого порядка разложения, куда Вы так разошлись. И потом, там о маленькое не от пятой степени.

[Limit79]

AV_77
Спасибо, не догадался туда заглянуть...

$$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \frac{\sin(x)+\sin(5x)}{3 \cdot (2x)} \right ) = 1$$

Т.е. главная часть $6x$.

-- 29.12.2013, 14:17 --

Otta

$$\sin(x)+\sin(5x) \sim 6x + o(x^3)$$

А почему не пятой? и тут тогда, наверное, не третья?

[Otta]

И тут не третья.
Потому что дальше третья степень, которая от себя о маленьким, очевидно, не является. Вы путаете с разложением с участием о большого.
Хватило бы так:
$\sin x+\sin{5x}=6x+o(x)$.
Равно, обратите внимание. Эквивалентность тут ни к чему. Хотите эквивалентность - продолжайте дальше, избавляясь от о малого.

[bot]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #807501 писал(а):

С кем поведессся - от того и заболеешь

С кем поведёшься - с тем и наберёшься.

[Limit79]

Otta
Большое спасибо!

А если условие вот такое:

$$\alpha(x) = \frac{1}{x^3+2}$$

$$\beta(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{10}+x}}$$

$$x \to \infty$$

Предел

$$\lim\limits_{x \to \infty} \left (\frac{\frac{1}{x^3+2}}{\left (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{10}+x}} \right )^k} \right )$$

при $k=\frac{9}{10}$ равен $1$

$$\frac{1}{x^3+2} = \left ( \frac{1}{x} \right )^3 + O \left ( \frac{1}{x} \right )^6$$

А вот как главную часть выделить?

-- 29.12.2013, 14:46 --

Вот что нашел:

(Оффтоп)

только разобраться не могу...

[Otta]

Тут только по определению. Степень Вы подобрали, осталось найти константу при ней. Откуда она ищется? А вот недавно вспоминали. ))