Исследовать ряд на равномерную сходимость

[so1ogub]

Исследовать ряд на равномерную сходимость: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2}+n}{n^{2}}\sin\frac{x}{n}$ на множествах $E_{1}=(0,1), E_{2}=(1,+\infty)$.

На $E_{1}$ пробую воспользоваться признаком Дирихле:
Последовательность $\frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ монотонна и равномерно сходится к 0.
Затрудняюсь в оценке частичной суммы $\sum\limits_{n=1}^{N}\sin\frac{x}{n}$.
Можно ли как-то её оценить или Дирихле здесь не работает?

[Otta]

so1ogub в сообщении #807422 писал(а):

Затрудняюсь в оценке частичной суммы $\sum\limits_{n=1}^{N}\sin\frac{x}{n}$.

Правильно затрудняетесь. Дирихле хорош для знакопеременных рядов, Ваш разве такой?

[so1ogub]

Otta в сообщении #807423 писал(а):

so1ogub в сообщении #807422 писал(а):

Затрудняюсь в оценке частичной суммы $\sum\limits_{n=1}^{N}\sin\frac{x}{n}$.

Правильно затрудняетесь. Дирихле хорош для знакопеременных рядов, Ваш разве такой?

Не такой
Попробуем по Вейерштрассу:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2+n}{n^2}\sin\frac{x}{n} \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2+n}{n^2}\frac{x}{n} \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{n^3}$
последний сходится, значит и данный сходится.

[Otta]

Да. Только не надо сравнивать ряды. Признак Вейерштрасса требует сравнения общих членов.