Предел последовательности

[ChaosProcess]

Исследовать для разных $x_0$ предел:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}\sin(\sin(...\sin(x_0)...),$$

где вложенных синусов $n$ штук. В общем, тут неопределенность 0 на $\infty$. Я пытался мажорировать сверху и снизу($x$ и $\frac{x}{2\pi}$), раскладывать синус, как-то играть тригонометрией. Пока не получается.

[SpBTimes]

Рассмотрите последовательность $x_n = \sin(x_{n - 1})$. Что можно сказать о её асимптотике?
Для исследования, рассмотрите последовательность $\frac{1}{x_n}$

[RIP]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #807114 писал(а):

Для исследования, рассмотрите последовательность $\frac{1}{x_n}$

лучше $\dfrac1{x_n^2}$

[ChaosProcess]

SpBTimes в сообщении #807114 писал(а):

Рассмотрите последовательность $x_n = \sin(x_{n - 1})$. Что можно сказать о её асимптотике?
Для исследования, рассмотрите последовательность $\frac{1}{x_n}$

Стремится у 0. А при чем тут $\frac{1}{x_n}$?

[SpBTimes]

RIP
И правда!

ChaosProcess
Раз вы доказали, что она стремится к нулю, воспользуйтесь подсказкой, что следует рассмотреть $\frac{1}{x^2_n}$, и разложите по Тейлору.

[ChaosProcess]

Так. Есть разложение синуса. Там нет никаких отрицательных степеней.

[SpBTimes]

$$ \frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{(x_{n - 1} - \frac{x_{n - 1}^3}{6} + o(x_{n - 1}^3))^2} = } $$

$$ \frac{1}{x_{n-1}^2}(1 - \frac{x_{n - 1}^2}{6} + o(x_{n - 1}^2))^{-2} $$

И Дальше скобку по Тейлору.

[ChaosProcess]

Сейчас занят немного, попозже обсудим.

[ChaosProcess]

Будет так:

$$\frac{1}{x^2_{n-1}}(1-\frac{x^2_{n-1}}{6}+o(x^2_{n-1}))^{-2}=\frac{1}{x^2_{n-1}}(1+\frac{x^2_{n-1}}{3}+o(x^2_{n-1}))=\frac{1}{x^2_{n-1}}+\frac{1}{3}+\frac{o(x^2_{n-1})}{x^2_{n-1}}.$$

Видимо, я чего-то не вижу в упор, но как это поможет решить исходную задачу.
А, кажется понял. Будет:

$$\frac{1}{x^2_{n}}=\frac{1}{x^2_{0}}+\frac{n}{3};\quad \frac{1}{nx^2_{n}}=\frac{1}{3}$$

.
Т.е. ответ будет $\sqrt{3}.$(для $x_0<>0)$

[ИСН]

Последнее слагаемое можно упростить.

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

$<>$ у вас означает «не равно»? Оно набирается так: \neq.