Температурное поле стержня

[yurich]

Здравствуйте.
Есть однородный стержень с сопротивлением R, на торцы которого подано постоянное напряжение U. Температура на торцах постоянная, равная Т.



Какой либо внешний нагрев отсутствует. Стержень нагревается только джоулевым теплом. Нужно найти, как распределяется температура по длине стержня. Подойдет ли в данном случае одномерное уравнение теплопроводности?

[Munin]

Проблема в том, что это анекдот, а не постановка задачи :-) Стержень будет гораздо сильнее охлаждаться со своей боковой поверхности, чем подчиняться уравнению теплопроводности. Того преподавателя, который поставил такую задачу, надо прихлопнуть мухобойкой.

А уравнение теплопроводности - подойдёт (к той задаче, которую имел в виду предподаватель, а не к реальному описанному стержню). Вот только в ней необходимо добавить источник тепла:

$$\dfrac{\partial T}{\partial t}=a\dfrac{\partial^2T}{\partial x^2}+\ldots$$

- плюс ...?

[yurich]

Munin в сообщении #806534 писал(а):

Стержень будет гораздо сильнее охлаждаться со своей боковой поверхности, чем подчиняться уравнению теплопроводности.

Боковые стенки теплоизолированы. Но если и нет, это вроде не должно повлиять на вид распределения?

Munin в сообщении #806534 писал(а):

А уравнение теплопроводности - подойдёт ...

Меня смущает, что туда входит время t, а у меня же как бы ничего не меняется во времени..

И как добавить источники тепла? Откуда взять?

[DimaM]

yurich в сообщении #806765 писал(а):

Меня смущает, что туда входит время t, а у меня же как бы ничего не меняется во времени..

Значит, надо что-то приравнять к нулю.

yurich в сообщении #806765 писал(а):

И как добавить источники тепла? Откуда взять?

Ну вы ж писали:

yurich в сообщении #806509 писал(а):

Стержень нагревается только джоулевым теплом.

[Munin]

yurich в сообщении #806765 писал(а):

Боковые стенки теплоизолированы.

Постойте, в задаче этого не сказано :-)
Если теплоизолированы - то конечно, это будет одномерное уравнение теплопроводности. Но такой существенный момент нельзя просто "умалчивать"!

yurich в сообщении #806765 писал(а):

Но если и нет, это вроде не должно повлиять на вид распределения? :roll:

Должно повлиять, страшенным образом.

yurich в сообщении #806765 писал(а):

Меня смущает, что туда входит время t, а у меня же как бы ничего не меняется во времени..

Как это, ничего не меняется во времени? Энергия меняется во времени. В стержень добавляется джоулево тепло, и когда он нагреется - начнёт вытекать тепло с концов стержня.

yurich в сообщении #806765 писал(а):

И как добавить источники тепла? Откуда взять?

А подумайте. Где у вас выделяется джоулево тепло? И в каких количествах?

DimaM в сообщении #806797 писал(а):

Значит, надо что-то приравнять к нулю.

Это если надо найти итоговое, окончательное распределение тепла. Но по формулировке задачи неясно - то ли нужно найти окончательное распределение тепла, то ли как будет меняться распределение по длине во времени. Разумеется, это совсем разные задачи, и для стационарной мой ответ не годится.

[yurich]

Почитал ваши комментарии..

Munin в сообщении #806828 писал(а):

Где у вас выделяется джоулево тепло? И в каких количествах?

По всему стержню в количестве U^2/R, если я не ошибаюсь

Munin в сообщении #806828 писал(а):

Как это, ничего не меняется во времени? Энергия меняется во времени. В стержень добавляется джоулево тепло

Процесс установившийся - на торцах постоянная температура. Я так понимаю это стационарный режим?

DimaM в сообщении #806797 писал(а):

Значит, надо что-то приравнять к нулю

Видимо, должно быть так?

$\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{U^2}{R}= 0

Munin в сообщении #806828 писал(а):

Должно повлиять, страшенным образом.

На самом деле это не совсем стержень, а протяженная пластина, к обеим плоскостям которой приложено напряжение. Из нее я мысленно выделил какой-то элементарный стержень. Поэтому с боковыми стенками не знаю как быть)) Пусть будут теплоизолированные

[Munin]

yurich в сообщении #806942 писал(а):

По всему стержню в количестве U^2/R, если я не ошибаюсь

Хорошо, а на миллиметре длины?

yurich в сообщении #806942 писал(а):

Процесс установившийся - на торцах постоянная температура. Я так понимаю это стационарный режим?

Да.

yurich в сообщении #806942 писал(а):

Видимо, должно быть так?

$\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{U^2}{R}= 0

Почти так, константа только другая.

И заметьте, теперь это уже уравнение не в частных производных, а обыкновенное. Буква $T$ имеет другой смысл - установившейся температуры - и является функцией одной переменной, и значки производной не кругленькие, а прямые.

yurich в сообщении #806942 писал(а):

На самом деле это не совсем стержень, а протяженная пластина, из которой я мысленно выделил какой-то элементарный стержень. Поэтому с боковыми стенками не знаю как быть)) Пусть будут теплоизолированные

С пластиной нужно решать уже двумерную или трёхмерную задачу. Опять правильно задав условия на боковых поверхностях. И такая задача даже в стационарном режиме может остаться задачей в частных производных. (Чтобы свести её к ОДУ, придётся разделять переменные, а заранее не факт, что они разделятся.)

[GraNiNi]

yurich в сообщении #806509 писал(а):

Нужно найти, как распределяется температура по длине стержня.

Примерно так.

В стационарном режиме, форма кривой распределения температуры вдоль стержня, от теплопроводности не зависит - зависят числовые величины этой температуры.

[Munin]

Красивая картинка. Но график $T(x)$ был бы информативнее. Но нарушал бы правила форума :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #806534 писал(а):

Проблема в том, что это анекдот, а не постановка задачи Стержень будет гораздо сильнее охлаждаться со своей боковой поверхности, чем подчиняться уравнению теплопроводности. Того преподавателя, который поставил такую задачу, надо прихлопнуть мухобойкой.

Да ну.... Если стержень в вакууме (например катод диода) и нагревается не очень сильно, чтобы радиационное охлаждение было достаточно мало, то будет именно так, как в задаче: отвод тепла только через контакты. Проверьте, вспомните закон Стефана-Больцмана Так что задача нормальная. Другой вопрос, что не грех бы обсудить когда она применима, а когда нет. Она вполне применима, но не всегда, естественно. Так что поаккуратнее с мухобойкой

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #807102 писал(а):

Да ну.... Если стержень в вакууме

Это тоже нужно было оговорить. Вакуум тоже теплоизоляция.

-- 28.12.2013 12:59:33 --

Alex-Yu в сообщении #807102 писал(а):

Так что поаккуратнее с мухобойкой

Эт мы уже выяснили. Автор темы занялся фантазированием на тему другой, более сложной задачи (и более реальной).

[nikvic]

Munin в сообщении #807094 писал(а):

Но график $T(x)$ был бы информативнее.

Парабола рогами вниз?

[Munin]

Тс-с-с!

[GraNiNi]

Munin в сообщении #807094 писал(а):

Но график $T(x)$ был бы информативнее.

Извольте.

[Munin]

Ну всё, теперь только кто первый заглянет в тему: yurich или модераторы :-)

Правила форума писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:


г) ... публикация полных готовых решений учебных задач (см. п. III-2);