Вопрос, связанный с методом Гаусса

[BENEDIKT]

Хотелось бы попросить помощи в связи с возникшей проблемой. А именно: как при помощи метода Гаусса можно решить систему $m$ уравнений с $n$ переменными, в которой $m$ не равно $n$?
Сам по себе метод понятен, если применять его для решения систем, преобразуемых в квадратные (если не учитывать столбец свободных членов) матрицы. В иных случаях возникают трудности. Последовательно исключая переменные из каждой строки, получаю в итоге уравнение более чем с одной переменной.
Подозреваю, что искомый принцип решения достаточно элементарен. Был бы весьма признателен за какой-либо намёк относительно данного принципа.

[ИСН]

А что Вы хотите в итоге получить? Объект какой природы? Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$. Что должно получиться? $(1;0)$?

[BENEDIKT]

Хотелось бы определить значения всех переменных системы. Соответственно, как я понимаю, сначала значения переменных злополучного $m$ - го уравнения, которые затем можно поставить в другие уравнения системы.

[Ms-dos4]

BENEDIKT
В случае если система неопределена (уравнений меньше, чем неизвестных), то часть переменных принимается за параметры.

[svv]

BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):

злополучного $m$ - го уравнения

Оно не виновато. Просто по ходу решения предыдущие уравнения проблему нехватки информации сваливают на него, а ему за всех приходится отвечать: оно же крайнее.

[ИСН]

ИСН в сообщении #806422 писал(а):

Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$.

BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):

Хотелось бы определить значения всех переменных системы.

ИСН в сообщении #806422 писал(а):

Что должно получиться?

Цитата:

Что?

[mihailm]

BENEDIKT в сообщении #806438 писал(а):

Хотелось бы определить значения всех переменных системы...

Переменные у функции, тут неизвестные

[BENEDIKT]

Ms-dos4 в сообщении #806442 писал(а):

В случае если система неопределена (уравнений меньше, чем неизвестных), то часть переменных принимается за параметры.

Т. е. единственного решения у такой системы по определению быть не может?

svv в сообщении #806451 писал(а):

Просто по ходу решения предыдущие уравнения проблему нехватки информации сваливают на него, а ему за всех приходится отвечать: оно же крайнее.

Увы, в моём учебнике представлена только такая методика: последовательное исключение неизвестных...

ИСН в сообщении #806422 писал(а):

Что должно получиться?

Пожалуй, то, что Вы указали в первый раз:

ИСН в сообщении #806422 писал(а):

Вот, например, уравнение более чем с одной переменной: $x_1+x_2=1$. Что должно получиться? $(1;0)$?

Судя по всему, да.

mihailm в сообщении #806567 писал(а):

Переменные у функции, тут неизвестные

Пардон за терминологическую вольность. Теперь приму к сведению.

[ИСН]

Хорошо, $(1;0)$. А почему не $(0;1)$? Кто из них правильнее?

[SpBTimes]

BENEDIKT
А вы не хотите просто прочитать какой-нибудь учебник по ЛА? Это описано везде ведь :)

BENEDIKT в сообщении #806594 писал(а):

Судя по всему, да.

А почему не (0; 1) ?

[Ms-dos4]

BENEDIKT
Нет конечно, если система не определена, единственного решения быть не может. Последовательно исключайте переменные, из них по числу уравнений (пусть будет n) выбираются главные переменные, остальные являются параметрами. В приведённом примере $\[{x_1} + {x_2} = 1\]$, пусть $\[{x_2} = \alpha \in ( - \infty , + \infty )\]$, тогда $\[{x_1} = 1 - \alpha \]$ и решение системы имеет вид $\[(1 - \alpha ,\alpha )\]$

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #806417 писал(а):

А именно: как при помощи метода Гаусса можно решить систему $m$ уравнений с $n$ переменными, в которой $m$ не равно $n$?

Ровно так же, как и когда равно: стараться получить в левой части расширенной матрицы -- единичную (ровно, т.к. даже и в случае равенства некоторые строчки могут исчезнуть). И когда Вы этого достигнете (а рано или поздно, следуя аккуратно шаблону, Вы этого непременно достигнете) -- все переменные, отвечающие столбцам расширенной матрицы правее той единичной (за исключением столбца правых частей, естественно, который никаким переменным не отвечает) -- все эти переменные можно брать произвольными, все же предыдущие через них однозначно выразятся. Это ровно и будет общее решение системы.

(ну с точностью до одного очевидного ньюанеца, конечно)

[BENEDIKT]

ИСН в сообщении #806596 писал(а):

Хорошо, $(1;0)$. А почему не $(0;1)$? Кто из них правильнее?

Трудно сказать. Собственно, всё и началось с того, что решение уравнения с более чем одной неизвестной породило сложности.

SpBTimes в сообщении #806597 писал(а):

А вы не хотите просто прочитать какой-нибудь учебник по ЛА? Это описано везде ведь

Учебник имеется, но найти в нём ответ на данный вопрос не получилось.

ewert, Ms-dos4
Благодарю. Попробую решить.

[Joker_vD]

BENEDIKT в сообщении #806647 писал(а):

Учебник имеется, но найти в нём ответ на данный вопрос не получилось.

Если в учебнике не сказано, что неопределенная система имеет бесконечно много решений, которые образуют линейное подпространство... Хм, а что это за учебник-то?

[ewert]

Joker_vD в сообщении #806658 писал(а):

Если в учебнике не сказано, что неопределенная система имеет бесконечно много решений, которые образуют линейное подпространство... Хм, а что это за учебник-то?

А это, видимо, учебник, который сознаёт, что не буквально всегда это так.