Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье

[TamaGOch]

Задание было разложить функцию в ряд Фурье по синусам

$f(x)=$$\begin{cases} & \text 1, при 0 < x <\frac{\pi}{2} \\ & \text 0, при \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$

я дополнил функцию, дабы сделать её нечётной, т.е.

$g(x)=$$\begin{cases} & \text 1, при 0 < x <\frac{\pi}{2} \\ & \text 0, при \frac{\pi}{2} < x < \pi\\ & \text 0, при -\pi < x < -\frac{\pi}{2} \\ & \text -1, при -\frac{\pi}{2}< x <0 \end{cases}$

получил ряд Фурье следующий:
$f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2(\frac{\pi n}{4})}{n}\sin(nx)$

не могу и не понимаю, как проверить ряд на равномерную сходимость, и потому прошу помочь.
Есть теорема, но она действует только в одну сторону, да и к тому же там говорится про чётные функции

график такой (если не ошибаюсь)
п.с. извиняюсь за качество рисунка

[Vince Diesel]

Равномерная сходимость где?
Что можно сказать о равномерно сходящемся ряде из непрерывных функций?

[TamaGOch]

Vince Diesel, на счёт множества не уверен. Стоит рассматривать множества исходной функции, т.е. $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$
или множества, появившиеся в $g(x)$
попробую пока рассмотреть первые два

-- 24.12.2013, 20:25 --

Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций есть непрерывная функция.
Если в моём примере $\frac{\pi}{2}$ - точка, в которой функция не является непрерывной (т.к. предел справа и предел слева не равны), выходит, что прерывную функцию разложили ряд из непрерывных, значит ряд сходится неравномерно, так?

и если не трудно, можно спросить ещё вот какой момент, в этом примере ставится эквивалентность, а не знак равенства именно из-за отсутствия равномерной сходимости?

[provincialka]

Из-за того, что сумма ряда не в точности равна функции в левой части.

[TamaGOch]

Извиняюсь за вопрос, но в процессе доказательства не понял, доказываю неравномерную сходимость к $f(x)$ или к $g(x)$? Ну и само собой, на каком множестве.

[Otta]

В процессе строительства задумался, чтó строю и в каком месте.

Вы уж сперва определитесь, что доказывать. Что спрашивали-то?

[TamaGOch]

в сети пишут,

Цитата:

Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходится к функции исходной, на промежутке, где эта функция задана. Если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье

в моём примере достаточное условие выполняется (промежуток от 0 до пи) точка разрыва только одна.
если всё верно, то разобрался, спасибо всем!

[Otta]

TamaGOch в сообщении #806367 писал(а):

в моём примере достаточное условие выполняется

Достаточное условие чего?

[mihailm]

TamaGOch в сообщении #805624 писал(а):

...и если не трудно, можно спросить ещё вот какой момент, в этом примере ставится эквивалентность, а не знак равенства именно из-за отсутствия равномерной сходимости?

Это не знак эквивалентности, так (обычно) пишут соответствие ряда Фурье функции, сходимость тут побоку.