Пространство Минковского, выбор временной координаты

[agpodgorny]

Добрый день, сделаю небольшое введение.

1. Предположим, что укладывается дорога, шириной $h$ и длиной $w$
2. Работают две бригады: одна следит за шириной, вторая следит за длиной
3. Первая бригада измеряет ширину в футах, вторая в милях

Допустим, что через какое-то время, бригады выходят на укладку открытого участка дороги, где ширина и длина достаточно велики (и меняется направление укладки). И что считать длиной и измерять в милях, и что считать шириной и измерять в футах уже не ясно.
Обе бригады проводят анализ расстояния между двумя точками и приходят к выводу, что расстояние - инвариант (с точностью до коэффициента), что в системе футов, что в системе милей.

Строится линейная функция для перевода милей в футы (и наоборот): $f(x)= k x$, где $x$ - расстояние в футах, $f(x)$ - расстояние в милях.

Таким образом было получено взаимоодназначное соответствие (далее по тексту - (1)) милей - футам (и наоборот). Т.о. если нарисовать график функции $f(x)$, то это получится некая линия, которая будет проходить через точку (0,0) и иметь угол $\tg(\alpha) = k$. Если мы поставим произвольную точку на плоскости, где нанесен график, то сможем проверить лежит ли эта точка на прямой (далее по тексту - (2)), но произвольно мы можем выбирать только одну координату (далее по тексту - (3)).

При объяснении мне основ СТО, на основании приведенной выше аналогии, перешли к другой аналогии (приведена ниже) и как следствие к пространству Минковского.
Расстояние мы можем измерять в метрах (для примера) и величине (метры), которая получается если свет будет проходить за некоторое время $t$ (секунды). Т.к. скорость света постоянна во всех ИСО, то мы вполне можем измерять расстояние таким образом. Т.е. формула перевода расстояния во "время" (с точностью до коэффициента c (скорость света)). Формула будет такой: $f(t)= c t$ (далее по тексту - (4)), где $t$ - время, за которое свет прошел расстояние $f(t)$, $f(t)$ - расстояние в метрах.

Когда я смотрю на пространственно-временную диаграмму, на которой по оси абсцисс отложено расстояние (остальные оси исключены для простоты), а по оси ординат - "время" (на самом деле расстояние, ct), я понимаю это как взаимооднозначное соответствие между расстоянием и временем, за которое свет проходит это расстояние (так же, как в аналогии, (1)). Если это так, то есть строго линейная зависимость между значениями на оси абсцисс и оси ординат - зависимость описывается формулой (4).

Вот теперь главный вопрос, какое право мы можем произвольно выбирать точки на графике и делать какие-то выводы (проводить анализ)? Почему и исходя из каких соображений мы можем считать координату ординат (ct) независимой от координаты абсцисс ? Разве они не связаны формулой (4)?

[EEater]

Вы спутали график пересчета единиц измерения, и собственно пространство с системой координатных осей. Наверно, просто прикалываетесь.
Секунды в метры можно переводить на одной оси, двух вообще не надо.

[agpodgorny]

EEater, к сожалению, не прикалываюсь, мне действительно это не понятно, может Вы тогда поясните, на каком основании в пространстве Минковского выбирается 4-ая координата $ct$?

[iifat]

agpodgorny в сообщении #804218 писал(а):

$f(t)= c t$

Смотрю. Читаю: "Разве они не связаны формулой (4)?" Ещё смотрю. Ещё читаю. Не, вы всё-таки прикалываетесь.

agpodgorny в сообщении #804245 писал(а):

на каком основании

Почему-то математческие альты все вопрошают: "на каком основании?". Нету, нету у математики оснований! Есть результаты. И таки если есть — вот оно, единственное основание.

[warlock66613]

agpodgorny, линия ваша - она ведь только для света. А другие объекты движутся по своим линиям. Да, мы можем каждому объекту сопоставить зависимость $x = f(ct)$, но эти зависимости разные у разных объектов (например для машаны, которая неподвижно стоит во дворе получаем прямую $x = x_0$). Поэтому в общем зависимости никакой нет.

[EEater]

agpodgorny в сообщении #804245 писал(а):

может Вы тогда поясните, на каком основании в пространстве Минковского выбирается 4-ая координата $ct$?

На том основании, чтобы метрика пространства (псевдоевклидова) соответствовала релятивистскому интервалу.
Сам Минковский пошел даже дальше: 4-й координатой назначил $ict$, тем самым получил формальное подобие евклидова пространства.

[Munin]

agpodgorny в сообщении #804218 писал(а):

При объяснении мне основ СТО, на основании приведенной выше аналогии, перешли к другой аналогии (приведена ниже) и как следствие к пространству Минковского.

В общем, не с того конца вам начали объяснять СТО.

[timots]

Если Вы будете рассматривать событие в схеме Минковского, то Вы получите независимые координаты для времени и для пространства. Координата времени зависит вовсе не от пространственной координаты, а от скорости света. Которая в схеме Минковского будет всегда биссектрисой между пространственной координатой и временной.

[iifat]

Что-то вы странное пишете. Время и пространство — две независимые координаты, в геометрии ли Минковского, в геометрии ли кого другого. А скорость света есть $3\cdot10^{10}$км/с, а вовсе никакая не биссектриса, парабола или конхоида Никомеда.

[agpodgorny]

iifat писал(а):

Почему-то математческие альты все вопрошают: "на каком основании?". Нету, нету у математики оснований! Есть результаты. И таки если есть — вот оно, единственное основание.

Уважаемый iifat, сразу обозначусь, что я не альт, и хочу не троллить, а хочу разобраться в вопросе.

warlock66613 писал(а):

agpodgorny, линия ваша - она ведь только для света. А другие объекты движутся по своим линиям. Да, мы можем каждому объекту сопоставить зависимость $x = f(ct)$, но эти зависимости разные у разных объектов (например для машаны, которая неподвижно стоит во дворе получаем прямую $x = x_0$). Поэтому в общем зависимости никакой нет.

Я считаю, что по оси абсцисс и ординат откладывается одно и то же значение из соотношения $f(t) = c t. Например если путь пройденный телом равен 1 метр, то иходя из равенства $1 = c t, находим, что $t = \frac{1}{c} (т.е. по аналогии с футами и милями)

Munin писал(а):

В общем, не с того конца вам начали объяснять СТО.

Прошу помочь, подтолкните, с какого конца нужно начать?

Так на начальный вопрос, кто-то может ответить?

-- 21.12.2013, 23:59 --

iifat в сообщении #804296 писал(а):

Что-то вы странное пишете. Время и пространство — две независимые координаты, в геометрии ли Минковского, в геометрии ли кого другого. А скорость света есть $3\cdot10^{10}$км/с, а вовсе никакая не биссектриса, парабола или конхоида Никомеда.

$3\cdot10^{10}$км/с это Вы загнули, скорость света, это ~ $3\cdot10^{8}$ м/сек.

[arseniiv]

agpodgorny в сообщении #804368 писал(а):

Я считаю, что по оси абсцисс и ординат откладывается одно и то же значение из соотношения $f(t) = c t$. Например если путь пройденный телом равен 1 метр, то иходя из равенства $1 = c t$, находим, что $t = \frac{1}{c}$ (т.е. по аналогии с футами и милями)

Но тело не обязано двигаться по мировой линии $x = ct$. Оно может и по другой (а если массивно — то даже должно). Если тело движется равномерно и прямолинейно, закон его движения имеет вид $x = vt$, и зная только пройденный путь и ничего более, вы разницу $t$ не узнаете.

P. S. Пожалуйста, ставьте доллары впредь по обоим концам формулы, или оформляйте её нажатием кнопки math над полем написания сообщения, иначе это проблемно цитируется.

-- Вс дек 22, 2013 02:25:27 --

Кстати, даже если тело, движущееся по закону $x = ct$, прошло 1 м, промежуток времени, за который это произошло, будет равен не $\frac 1c$, а $\frac{1\text{ м}}c$. Иначе размерности будут не те, а значения будут зависеть от использованных единиц измерения, что явно не то.

-- Вс дек 22, 2013 02:35:10 --

agpodgorny в сообщении #804368 писал(а):

Прошу помочь, подтолкните, с какого конца нужно начать?

Попробуйте с инвариантной относительно систем координат величины — квадрата интервала $s^2 = c^2t^2 - x^2$. Инвариантность интервала проверяема экспериментально, как и постоянство $c$. Тут как-то советовали книгу Тейлора—Уилера «Физика пространства-времени» про СТО. Там аналогии между евклидовой и псевдоевклидовой геометрией описаны точнее, чем у вас в стартовом посте, и аккуратнее. (И изложение такое достаточно медленное, на мой взгляд.) Если вы внимательно её прочитаете, и даже сделаете упражнения — думаю, будет всё ясно.

[timots]

iifat
Действительно странно! То есть Мировую линию светового сигнала Вы выкинули со схемы Минковского? Отличие геометрии Минковского от других геометрий в том, что она строиться не на аксиомах, а на постулатах СТО. Отсюда и разность в масштабах. Поэтому единственным отсчетом является Мировая линия светового сигнала. При увеличении скорости относительно начальной точки изменяется и угол между временной и пространственной координатой, но Мировая линия светового сигнала остается биссектрисой этого угла.

[arseniiv]

timots, углы на псевдоевклидовой плоскости получаются такими, что $x = ct$ никак не может быть биссектрисой. Евклидовы углы же наклеивать на псевдоевклидову плоскость — это извращение какое-то.

[Munin]

agpodgorny в сообщении #804368 писал(а):

Прошу помочь, подтолкните, с какого конца нужно начать?

Имхо, начать нужно вот с чего.

Возьмём обычные хорошо известные законы и явления физики. Скажем, сталкивающиеся бильярдные шары, падающие яблоки и прочее. Всё простое и знакомое.

Нарисуем все эти процессы в координатах $x,y,x,t.$ Почему бы и нет? Все эти процессы протекают во времени, для каждого момента времени мы знаем, где что находится, и куда с какой скоростью движется, можем нарисовать "мгновенный снимок" физической ситуации. Такие "мгновенные снимки", наслаиваясь друг на друга, дадут пространственно-временную картину. Правда, пока ещё это раздельные пространство и время, не взаимодействующие друг с другом. Просто мы соединили их на одной картинке. Когда мы закончили эту картинку, она больше никуда не движется. Она сама целиком рассказывает какую-то историю, как будто книга или киноплёнка, лежащие на полке. Надеюсь, это понятно.

Заметим две существенные вещи. 1. Когда что-то перемещается куда-то, то оно всегда рисует в пространстве-времени непрерывную линию. Ничто никуда никогда не движется мгновенными скачками. (Есть исключение - гравитация, но его отложим на потом.) Таким образом, можно считать, что каждая материальная точка рисует непрерывную линию - она называется "мировая линия", а каждое тело - непрерывную полосу - "мировую полосу". 2. С этой получившейся картиной возможны интересные преобразования. Мгновенные снимки можно наложить друг на друга либо ровно, либо со сдвигом. Сдвиг тоже должен нарастать непрерывно: снимок через секунду сдвинут на чуть-чуть, снимок через две секунды - на чуть побольше, и так далее. Такой сдвиг означает, что мы смотрим на все события с движущейся точки зрения: например, из окна поезда, или автомобиля. Что такой сдвиг делает с "пространственно-временной картиной"? Он её искажает, но не портит полностью. Например, линии остаются в одинаковом порядке, не запутываются. (Эти линии "рассказывают историю" о взаимном расположении предметов в разные моменты времени.) Те линии, которые пересекались (точки сталкивались), продолжают пересекаться, а те, которые шли параллельно (точки двигались параллельно), продолжают идти параллельно. Они просто все вместе куда-то наклоняются, как трава на ветру.

Такие сдвиги можно понять, и привыкнуть к ним, но всё-таки они чем-то неудобны, неестественны. Раз линии наклоняются, то может быть, на самом деле и вся картина наклоняется как целое, поворачивается, а не сдвигается? У такой идеи только один недостаток: то, что раньше было "мгновенным снимком" - после поворота перестаёт быть мгновенным снимком, "выходит из пространственной плоскости". Но вот тут к нам на помощь приходят разные масштабы, в которых мы разглядываем пространство и время. Если типичная секунда гора-а-аздо длиннее типичного метра, то поворот будет почти неотличим от сдвига. Повернём картину на 1 метр в секунду - тогда точка через 1 секунду времени будет сдвинута на 1 метр, но угол поворота будет очень маленьким. И насколько у нас мгновенный снимок "выйдет из плоскости"? Тоже на малый угол. Практически, на величину 1 секунда / (1 секунда/метр). Обычными часами этого не заметишь.

Отсюда вопросы: а как именно это можно заметить, и определить, что именно происходит в нашем мире: поворот или чистый сдвиг? Какие ещё эффекты изменяются при замене сдвига на поворот? Как это всё выражается формулами? И на все эти вопросы ответы изложены в учебнике по СТО. (Самый главный ответ - это что в нашем мире происходит именно поворот, хотя и не совсем обычный. Это было установлено экспериментами и сравнением между собой нескольких разных теорий, и на сегодня определено абсолютно надёжно и бесспорно. Вот такой поворот означает, что пространство и время друг с другом взаимодействуют, и имеют право на общее название пространства-времени.)

[timots]

arseniiv
Биссектриса это линия делящая угол пополам. Какая разница, в какой геометрии она будет.
Советую посмотреть лекцию на YouTube «Геометрия пространства времени».