Интеграл от функции комплексного переменного

[chesas]

Прошу указать на ошибки, если они есть, а я подозреваю, что это так...
Вычислить интеграл

$\int\limits_L{z\operatorname{Re}{z}dz}\mbox{,}\quad\mbox{где}\quad|z|=2\mbox{,}\quad0\le{\arg z}\le\pi\mbox{.}$

Представив комплексное число в показательной и тригонометрической форме

$z=\rho{e}^{i\varphi}=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$

получим

$dz=i\rho{e}^{i\varphi}d\varphi\mbox{,}\quad\operatorname{Re}{z}=\rho\cos\varphi$

и подставив значение модуля:

$z=2{e}^{i\varphi}\mbox{,}\quad\operatorname{Re}{z}=2\cos\varphi\mbox{,}\quad{dz}=2i{e}^{i\varphi}d\varphi$

Т.е.

$\int\limits_L{z\operatorname{Re}{z}\;dz}=\int\limits_0^\pi{2{e}^{i\varphi}\,2\cos\varphi\,2i{e}^{i\varphi}d\varphi}=8i\int\limits_0^\pi{{e}^{2i\varphi}\,\cos\varphi\;d\varphi}=8i\,I$

Применяем дважды интегрирование по частям:

$\mbox{пусть}\quad{u}={e}^{2i\varphi}\quad\mbox{и}\quad{dv}=\cos\varphi\;d\varphi\quad\mbox{тогда}\quad{du}={2i}{e}^{2i\varphi}d\varphi\quad\mbox{и}\quad{v}=\sin\varphi$

$I=\left.{e}^{2i\varphi}\sin\varphi\right|_0^\pi-\int\limits_0^\pi{2i{e}^{2i\varphi}\,\sin\varphi\;d\varphi}=-2i\int\limits_0^\pi{{e}^{2i\varphi}\,\sin\varphi\;d\varphi}=-2i\,I_1$

$\mbox{теперь пусть}\quad{u}={e}^{2i\varphi}\mbox{,}\;{dv}=\sin\varphi\,d\varphi\quad\mbox{тогда}\quad{du}={2i}{e}^{2i\varphi}d\varphi\mbox{,}\;{v}=-\cos\varphi$

$I_1=\left.-{e}^{2i\varphi}\cos\varphi\right|_0^\pi+2i\int\limits_0^\pi{{e}^{2i\varphi}\,\cos\varphi\;d\varphi}=\left.-{e}^{2i\varphi}\cos\varphi\right|_0^\pi+2i{I}$

Итого, из

$I=-2i(\left.-{e}^{2i\varphi}\cos\varphi\right|_0^\pi+2i{I})$

найдём I

$I=-\frac{2i}3\left.{e}^{2i\varphi}\cos\varphi\right|_0^\pi$

И окончательно

$\int\limits_L{z\operatorname{Re}{z}\;dz}=8i\,I=\frac{16}3\left.{e}^{2i\varphi}\cos\varphi\right|_0^\pi=-\frac{32}3$

А я так понимаю, что результат должен быть, как минимум, положительным.

[Otta]

chesas в сообщении #802905 писал(а):

А я так понимаю, что результат должен быть, как минимум, положительным.

Интересно, из каких соображений Вы это понимаете, для криволинейного интеграла от комплекснозначной-то функции. Я вот так понимаю, что результат должен быть вещественным.

Ответ верный. Только напрасно Вы затеялись с интегрированием по частям, надо было с ходу воспользоваться формулой Эйлера и не создавать себе лишних трудностей.