Крайнее доказательство ВТФ для n=3

[Talinkin]

Рассмотрим: $n=3$:

$c^{3}=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})$

Произведем замену:

$$ \begin{cases} q=a+b\\ c=qs\\ b=qt\\ a=q(1-t) \end{cases} $$

, где $s$ и $t$ - натуральные

$\Rightarrow$

$q^{3}s^{3}=q^{3}(1-t)^{3}+q^{3}t^{3}$

$\Rightarrow$

$ s^{3}=(1-t)^{3}+t^{3}$

$\Rightarrow$

$$ \begin{cases} c^{3}=a^{3}+b^{3}\\ \Rightarrow\\ s^{3}=(1-t)^{3}+t^{3} \end{cases} $$

Второе уравнение получается заменой из первого:

$$ \begin{cases} c=s\\ a=1-t\\ b=t \end{cases} $$

$\Rightarrow$

$q=a+b=1-t+t=1$

Отсюда:

$a+b=1$ - не имеет решения в натуральных числах

Теорема доказана.

[mihiv]

Очевидно, что $c<a+b=q$, этому неравенству противоречит замена $c=qs\geq q$.

[Talinkin]

mihiv в сообщении #802679 писал(а):

Очевидно, что $c<a+b=q$, этому неравенству противоречит замена $c=qs\geq q$.

Вовсе не очевидно:

$$ \begin{cases} c=1\\ a=0\\ b=1\\ \end{cases} $$

$\Rightarrow$

$c^{3}=a^{3}+b^{3}$

$\Rightarrow$

$1=0+1$

$q=1$

Так как:
Существуют два подхода к определению натуральных чисел.
Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие — нет.

Пусть ноль - натуральное.
Тогда ваше утверждение не верно.А мое:

Talinkin в сообщении #802662 писал(а):

$a+b=1$ - не имеет решения в натуральных числах

плавно перетекает в:
не имеет решение во всех натуральных кроме нулевых

[nnosipov]

Talinkin в сообщении #802722 писал(а):

Существуют два подхода к определению натуральных чисел.

Наплевать на два подхода. Считайте $a$, $b$, $c$ целыми положительными изначально (случай, когда среди $a$, $b$, $c$ есть нули, никого не интересует).

[ludwig51]

Talinkin в сообщении #802662 писал(а):

[c]Рассмотрим: $n=3$:

$c^{3}=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})$

Вы разделили обе части исходного уравнения на $(a+b)^3$
Поэтому переменные s и t у Вас рациональные:

$$s=\frac{c}{a+b}$$

$$t=\frac{b}{a+b}$$

$$q=a+b\neq 1$$

Теорема для n=3 не доказана.

[Talinkin]

ludwig51 в сообщении #802730 писал(а):

Поэтому переменные s и t у Вас рациональные:

Не обязательно,так как ,если $s$ и $q$ натуральные, то $(sq)$ покрывает всю линейку натуральных чисел для $c$.Т.е. в принципе можно остановиться на натуральных.

-- 17.12.2013, 21:59 --

nnosipov в сообщении #802728 писал(а):

Наплевать на два подхода. Считайте $a$, $b$, $c$ целыми положительными изначально (случай, когда среди $a$, $b$, $c$ есть нули, никого не интересует).

А ноль как считать? Положительным или отрицательным?

[warlock66613]

Talinkin в сообщении #802738 писал(а):

А ноль как считать? Положительным или отрицательным?

Касательно этого вопроса в математике нет расхождений. Ноль - это ноль, он не положителен и не отрицателен.

[yk2ru]

Talinkin, вы согласны с тем, что $c < q$ ?

[Talinkin]

yk2ru в сообщении #802788 писал(а):

Talinkin, вы согласны с тем, что $c < q$ ?

Нет не согласен, так как:

$$ \begin{cases} c=1\\ a=0\\ b=1\\ \end{cases} $$

$\Rightarrow$

$c=q$

[ludwig51]

Talinkin в сообщении #802738 писал(а):

Не обязательно,так как ,если $s$ и $q$ натуральные, то $(sq)$ покрывает всю линейку натуральных чисел для $c$.Т.е. в принципе можно остановиться на натуральных.

$s$ у Вас не натуральное, а рациональное.
Вы приняли $q=1$
И поэтому у вас нет натуральных чисел для $c=qs$ - это рациональные числа.

[Toucan]

Talinkin, прекратите, пожалуйста, центрировать текст своих сообщений.

[nnosipov]

Talinkin в сообщении #802790 писал(а):

Нет не согласен, так как: ...

Ещё раз: $a$, $b$, $c$ следует с самого начала считать целыми и положительными. Именно в этом случае имеет смысл (и представляет интерес) доказывать утверждение о невозможности равенства $a^3+b^3=c^3$. И тогда Ваша замена $a+b=q$, $c=qs$, где $s$ --- целое положительное, не будет корректной (такого $s$ просто не существует).

[Talinkin]

ludwig51 в сообщении #802821 писал(а):

$s$ у Вас не натуральное, а рациональное.

Замену переменных делаю я,следовательно я решаю какими будут $s$ и $t$, натуральными или рациональными.

-- 18.12.2013, 05:48 --

nnosipov в сообщении #802918 писал(а):

Talinkin в сообщении #802790 писал(а):

Нет не согласен, так как: ...

Ещё раз: $a$, $b$, $c$ следует с самого начала считать целыми и положительными. Именно в этом случае имеет смысл (и представляет интерес) доказывать утверждение о невозможности равенства $a^3+b^3=c^3$. И тогда Ваша замена $a+b=q$, $c=qs$, где $s$ --- целое положительное, не будет корректной (такого $s$ просто не существует).

Я хочу сказать,что если решений нет для целых чисел $a,b,c$,то их нет и для натуральных (в вашем случае для целых и положительных). Так как, натуральные есть подмножество целых. Я руководствуюсь этим фактом.Таким образом, будем рассматривать ВТФ для целых $a,b,c$ а потом перейдем к целым-положительным (натуральным).

[nnosipov]

Talinkin в сообщении #802920 писал(а):

Я хочу сказать,что если решений нет для целых чисел $a,b,c$ ...

А для целых $a$, $b$, $c$ решения есть, например $0^3+1^3=1^3$. Вот для целых положительных действительно решений нет, но Вы этого не доказали: в этой ситуации Ваша замена не является корректной, а значит, и все выводы, на ней построенные --- тоже.

Talinkin в сообщении #802920 писал(а):

Замену переменных делаю я,следовательно я решаю какими будут $s$ и $t$, натуральными или рациональными.

Вы приказали числу $s$ быть натуральным (целым положительным), а оно не хочет не может им быть. Ваш приказ не реалистичен.

[yk2ru]

Talinkin в сообщении #802662 писал(а):

$a+b=1$ - не имеет решения в натуральных числах

Ну если ноль вы хотите считать натуральным, то ваш вывод неправильный. Одно из чисел слева будет натуральное ваше ноль.