2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 17:26 


29/08/11
1759
$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)}$$
Пробую по частям, получаю:
$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} = x^2 \tg(x) - 2 \int x \tg(x) dx$$
И еще раз по частям:
$$\int \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} = x^2 \tg(x) +2x \ln|\cos(x)| -2 \int \ln|\cos(x)| dx$$

Последний интеграл, вроде, через элементарные функции не выражается.

На втором шаге пробовал по частям по-другому, для того, чтобы получить уравнение относительно интеграла, но получается $0=0$

Подскажите, пожалуйста, верно ли?

-- 15.12.2013, 18:31 --

UPD: Данный интеграл возник при расчете дисперсии НСВ, то есть он определенный, от $0$ до $\frac{\pi}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 17:34 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Данный интеграл в элементарных функциях не берётся.
P.S. НСВ это что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 17:44 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Спасибо. НСВ - непрерывная случайная величина.

А не могли бы Вы, пожалуйста, посмотреть, может я изначально что-то делаю не так:

Задана функция распределения: $F(x) = \tg(x)$ при $0< x \leq \frac{\pi}{4}$, слева от этого интервала ноль, справа - 1.

Тогда $f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ при $0< x \leq \frac{\pi}{4}$, а везде, кроме этого интервала - ноль.

Тогда, мат. ожидание: $$M(x) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{xdx}{\cos^2(x)} = ... = \frac{\pi}{4} + \ln \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )$$

Дисперсия: $$D(x) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2 dx}{\cos^2(x)} - (M(x))^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 17:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
А почему вы думаете, что что-то неправильно? Ну забейте вы определённый интеграл например в Maple и посмотрите, может выразит через какие-нибудь постоянные, в крайнем случае численно найдите и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:01 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Ну мало ли где ошибся... Мат. пакеты выражают через спец. функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:05 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Это неопределённый, там конечно. А вот определённый выражается через постоянную Каталана (так говорит Mathematica)

$\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \frac{1}{{16}}[(\pi (\pi  + 4\ln 2) - 16G)\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:12 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Это я знаю, но толку от этого мало :D

Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:13 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Limit79
Т.е. как это толку мало? Число вы получили - получили. Дисперсию посчитать можете - можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


23/11/13

147
Если использовать с большой точностью число Каталана

$C=0.91596559417721901505460351493238411$

то определенный интеграл имеет простой вид:

$\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x^2}{\cos^2(x)} d x=\frac{1}{16}\left [ \pi ( \pi+\ln {16} ) - 16 C\right ] \approx 0.2452812034667664312477243971$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:25 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fedd

(Оффтоп)

а вы читаете, что вообще пишут в теме выше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


23/11/13

147
Ms-dos4, да, читаю. Вы же пишите: "...в крайнем случае численно найдите и всё."

Я численно и нашел. То есть показал число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:48 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Надо же аналитически ее вычислить, а через элементарные функции интеграл не выразить.

fedd
Суть -- посчитать вручную и без спец. функций, а это невозможно.

fedd
Скорее всего, под "численно" Ms-dos4 имел ввиду численными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Limit79
Что вы имеете ввиду аналитически? У вас же тут даже параметров нет никаких (и кстати, выражение с постоянной Каталана и есть аналитическое, т.е. точное). Ну а вручную получить этот самый результат с постоянной Каталана - там всё сводится к полилогарифмам, в них вы раскаладываете экспоненты по тождеству Эйлера и пытаетесь свести к своему интегралу.

-- Вс дек 15, 2013 19:51:54 --

fedd в сообщении #801581 писал(а):
Ms-dos4, да, читаю. Вы же пишите: "...в крайнем случае численно найдите и всё."

Я численно и нашел. То есть показал число.

Я думаю автор и сам в силах подставить в формулу постоянную Каталана

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 18:59 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Согласен, "аналитически" не к месту сказал. Я имел ввиду, что без спец. функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выражается ли в элементарных функциях интеграл
Сообщение15.12.2013, 19:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Limit79
А чем спецфункция хуже элементарной? За что же их так дискриминируют то. Ну назвали одни функции элементарными по определению и всё, по сути разницы вообще нет. И ваш ответ (для опр. интеграла) спецфункций явно не содержит.

(Оффтоп)

Нужно организовывать движение за отмену дискриминации спецфункций! Даёшь равноправие элементарных и специальных функций!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group