Исследовать сходимость интеграла

[StrMth]

$\int_1^{+\infty}(1-e^{x^{-2/3}\sin x})dx$ Абсолютной сходимости не будет, а как доказать что условная будет?Я попробовал расписатьпо Тейлору ,но получил оценку расходящимся рядом сверху, из-за степени икса

[ИСН]

Значит, попробуйте расписать по Тейлору, но не оценивать сверху всё вместе. Первое слагаемое попробуйте взять при помощи ума и рук. Второе как-нибудь. А вот остальные (и хвост) уже можно нахлобучить сверху.

[SpBTimes]

Так там и брать-то особо ничего не надо. Первое слагаемое, которое останется, совсем уж известно. А весь остаток сходится абсолютно.

[StrMth]

Первое слагаемое сходится , это понятно, а почему остаток сходится абсолютно?

[Otta]

StrMth в сообщении #800933 писал(а):

Первое слагаемое сходится , это понятно, а почему остаток сходится абсолютно?

Это о большое от чего? Вот отсюда и пляшите.

[StrMth]

от первого слагаемого? поэтому оно тоже будет сходиться?

[SpBTimes]

Ну как же от первого? Что же это тогда за точность-то такая, кусок взяли, а о куске ничего не знаем...

[StrMth]

Но если синус квадрат расписывать на разность она будет расходиться

[SpBTimes]

??

[Otta]

StrMth
Напишите формулу Тейлора для $e^y$ в окрестности нуля до первого члена плюс остаточный в виде о большого, пожалста.

[StrMth]

$\frac{\sin^{2}x}{2x^{4/9}}=\frac{1}{4x^{4/9}}-\frac{cos2x}{4x^{4/9}}$
$1+x+O(x^{2})$

[Otta]

StrMth в сообщении #801017 писал(а):

1+x+O(x)

Неверно. Сам $x$ не является $O(x)$? Каково определение?

-- 15.12.2013, 00:10 --

StrMth в сообщении #801017 писал(а):

1+x+O(x^{2})

Ага, а вот это другое дело. (Оформляйте, pls).
Вот и используйте - прямо для исходного интеграла.

[StrMth]

Весь вопрос в том, почему о-большое будет сходится

[Otta]

StrMth, не поленитесь, запишите разложение подынтегральной функции, озадачьтесь тем, что такое о большое, и все должно сразу получиться, - если, конечно, собственно с интегралами у Вас нет проблем. Вы написали? нет?

[StrMth]

$-\frac{\sin x}{x^{2/3}}+O(\frac{\sin^{2}x}{x^{4/9}})$