Задача на производную

[never-sleep]

Здравствуйте! Возник вопрос по задаче

$y=ax^2+bx+c$

Известно, что в точке $x_0=4$ при $\Delta x=-1$ приращение и дифференциал соответственно равны $\Delta y=1$, $dy=0,5$. Найти $a+b$.

Видимо подразумевалось $dy=0,5dx$?

Вот, что мне удалось извлечь из условия:

$y'=2ax+b$

$8a+b=0,5$

$\Delta y= a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)$

$\Delta y= 9a+3b+c-16a-4b-c=-7a-b=1$

Получаем систему $8a+b=0,5$ и $-7a-b=1$, складывая уравнения, имеем $a=1,5$, тогда $b=-11,5$ и ответ $a+b=-10$

Сойдет?

[provincialka]

never-sleep в сообщении #800519 писал(а):

Известно, что в точке $x_0=4$ при $\Delta x=-1$ приращение и дифференциал соответственно равны $\Delta y=1$, $dy=0,5$. Найти $a+b$.

Видимо подразумевалось $dy=0,5dx$?

Почему вы это подразумеваете, если дано другое? Не сойдет.

[never-sleep]

provincialka в сообщении #800520 писал(а):

never-sleep в сообщении #800519 писал(а):

Известно, что в точке $x_0=4$ при $\Delta x=-1$ приращение и дифференциал соответственно равны $\Delta y=1$, $dy=0,5$. Найти $a+b$.

Видимо подразумевалось $dy=0,5dx$?

Почему вы это подразумеваете, если дано другое? Не сойдет.

Ну потому как думал, что $dy$ всегда подразумевается бесконечно маленьким, потому не может равняться конечному числу. А как тогда быть?

[Urnwestek]

never-sleep в сообщении #800522 писал(а):

Ну потому как думал, что $dy$ всегда подразумевается маленьким, потому не может равняться конечному числу. А как тогда быть?

Прочитать определение дифференциала.

never-sleep в сообщении #800522 писал(а):

бесконечно маленьким ... конечному числу

А ещё определение вещественных чисел.

[provincialka]

never-sleep в сообщении #800519 писал(а):

Видимо подразумевалось $dy=0,5dx$?

Обычно $dx=\Delta x$

[never-sleep]

Дифференциал — линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ в точке $x_0 \in \mathbb{R}$ может быть определён как линейная функция
$d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,$

[provincialka]

never-sleep, а дифференциал переменной (аргумента) чему равен?
В вашей формуле $h$ совпадает с $\Delta x$

[never-sleep]

provincialka в сообщении #800527 писал(а):

never-sleep, а дифференциал переменной (аргумента) чему равен?
В вашей формуле $h$ совпадает с $\Delta x$

Хорошо, спасибо, исправляюсь. $\Delta x=-1$, потому $y'(4)=-0,5$

$y'=2ax+b$

$8a+b=-0,5$

$\Delta y= a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)$

$\Delta y= 9a+3b+c-16a-4b-c=-7a-b=1$

Получаем систему $8a+b=-0,5$ и $-7a-b=1$, складывая уравнения, имеем $a=0,5$, тогда $b=-4,5$ и ответ $a+b=-4$

А так верно? А чем тогда $dx$ отличается от $\Delta x$?

[Urnwestek]

(Оффтоп)

Что-то они в своей вики намудрили. Почему смещение $h$ стоит аргументом у функции $f$? Лучше бы уже как-то типа $\operatorname{d}_{x_0}f(x)(h)$ написали, или $\operatorname{d}f(x_0;h)$ или ещё что-то в таком духе.

-- 14.12.2013, 00:24 --

never-sleep в сообщении #800528 писал(а):

А так верно? А чем тогда $dx$ отличается от $\Delta x$?

Дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением. Так что ничем.

Вроде как да, правильно.

[Otta]

never-sleep в сообщении #800528 писал(а):

А так верно? А чем тогда $dx$ отличается от $\Delta x$?

Оно-то формально верно, но уж больно из пушек по воробьям. Пользоваться в таких задачах табличными производными не есть хорошо, потому как задача как раз и рассчитана на то, что Вы всю кухню производных пощупаете изнутри.

А тут производная и не нужна вовсе. Нужно было выделить линейную часть приращения функции (диффернциал, да), посмотреть, чему равна линейная, чему нелинейная (каким численным значениям), очень просто бы все было.

Собственно, поэтому и функция такого простого вида, а не какая-нибудь, скажем, $e^{1/x}$, где линейная часть приращения уже считалась бы с неким напрягом.

[never-sleep]

$8a+b=0,5$

$$\Delta y= a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)=$$

$$=ax^2+2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+bx+b\Delta x+c-ax^2-bx-c=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x=$$

$$=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2=dy+a(\Delta x)^2$$

$\Delta y=dy+a(\Delta x)^2$

$1=0,5+a\cdot 1^2$, тогда $a=0,5$

$dy=(2ax+b)\Delta x$

$0,5=(-4+b)\cdot (-1)$

$b=4,5$

Так имеется ввиду, без производной? То есть так связаны диффиренциал и приращение? $\Delta y=dy+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая большего порядка малости, чем $\Delta(x)$?

[Otta]

never-sleep в сообщении #800533 писал(а):

Так имеется ввиду, без производной?

Почти так, да. За исключением:

never-sleep в сообщении #800533 писал(а):

$\Delta y=dy+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая большего порядка малости, чем $\Delta(x)$?

От чего-от чего $\alpha$? что стремится и куда?

А производную Вы, заметьте, по дороге вычислили. Как коэффициент линейного преобразования - дифференциала.

-- 14.12.2013, 04:01 --

never-sleep в сообщении #800533 писал(а):

$0,5=(-4+b)\cdot (-1)$

Ага, и вот это озадачивает.

[never-sleep]

Otta в сообщении #800535 писал(а):

От чего-от чего $\alpha$? что стремится и куда?

$\alpha(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$ стремиться к нулю быстрее, чем $\Delta x$, то есть большего порядка малости. Так верно будет?

-- 14.12.2013, 02:07 --

Otta в сообщении #800535 писал(а):

Ага, и вот это озадачивает.

Почему озадачивает?

[Otta]

Так верно.
То есть приращение функции состоит из линейной части (дифференциала) и нелинейной. Нелинейная не всегда нулевая (вернее, мало когда нулевая), поэтому приращение с дифференциалом совпадать не обязано. Хотя при очень очень малых значения приращения аргумента нелинейная часть дает в приращение функции пренебрежимо малый вклад по сравнению с линейной. Поэтому на практике, когда требуется оценить приращение функции, соответствующее малому значению приращения аргумента, часто довольствуются приближением линейной частью, т.е. дифференциалом.

-- 14.12.2013, 04:15 --

never-sleep в сообщении #800536 писал(а):

Почему озадачивает?

Потому что $b$ неверно найдено. $-4$ откуда в цитированной формуле?

[never-sleep]

Ааа, все ясно, спасибо!