Лин. алгебра

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #798995 писал(а):

Ну, первый шаг правильный. Дальше пошел разброд. В частности, нельзя применять обратные матрицы, если их существование не доказано. Ладно, подскажу. Перенесите все на левую сторону и добавьте слева и справа слагаемое $E$.

$$AB=A+B\Rightarrow AB-A-B=0\Rightarrow AB-A-B+E=E \Rightarrow A(B-E)-(B-E)=E \Rightarrow (A-E)(B-E)=E$$

[provincialka]

Хорошо. Только не ждите каждого нового указания. Попробуйте сделать вывод из этого симпатичного равенства сами.

Кстати, вместо "следует" лучше было бы написать "равносильно", ведь это действительно так.

[karandash_oleg]

$$AB=A+B\Leftrightarrow AB-A-B=0\Leftrightarrow AB-A-B+E=E \Leftrightarrow A(B-E)-(B-E)=E\Leftrightarrow (A-E)(B-E)=E\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (B-E)(A-E)=E\Leftrightarrow BA-EA-BE-EE=E\Leftrightarrow BA-A-B+E=E\Leftrightarrow BA=A+B$$

Сомневаюсь над равносильностью перехода $(A-E)(B-E)=E\Leftrightarrow (B-E)(A-E)=E$

Я просто предположил, что $A-E$ и $B-E$ являются взаимнообратными, а значит порядок перемножения не принципиален. Кстати, а здесь $A$ и $B$ -- квадратные ведь?

[provincialka]

karandash_oleg в сообщении #799000 писал(а):

Сомневаюсь над равносильностью перехода $(A-E)(B-E)=E\Leftrightarrow (B-E)(A-E)=E$

Да, это верно. Матрица $B-E$ является правой обратной для $A-E$. Но, как известно, правая обратная и левая обратная матрицы совпадают (взаимно обратные матрицы перестановочны). Все верно. Молодец!

[karandash_oleg]

Спасибо большое, понятно!

[iifat]

provincialka в сообщении #798966 писал(а):

Верно

Неверно, вообще-то. $1-\lambda$. Хотя на дальнейшее и не влияет.

[Otta]

iifat в сообщении #799007 писал(а):

Неверно, вообще-то. $1-\lambda$

Я думаю, они друг друга правильно поняли. Имелось в виду $\lambda=1$.

[provincialka]

Ха, а я и не заметила! Мысленно подставляла именно единицу. Ну ничего, вроде человек сам дошел до решения, на свежую голову разберется.

[karandash_oleg]

Да, разобрался, спасибо.