Неравенство

[TR63]

arqady,
слева, конечно (перепутала).
И с непрерывностью всё нормально. Корень то кратный, когда все переменные равны (просто в ответе вольфрама при решении соответствующего неравенства не заметила кратность корня в разложении на множители).
Неравенство интересное. (Я придумала обобщение для задач такого типа (а, тут, видите ли непрерывность нарушилась; я переполошилась; но всё устаканилось); думаю, как-нибудь, разместить в соответствующем разделе).

[arqady]

Его ещё можно свести к некоторому однородному неравенству.

Вот ещё одно неоднородное.
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ докажите, что

$$\sqrt[3]{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}+abc\geq ab+ac+bc$$

[TR63]

(Оффтоп)

Знакомое; пойдёт в котёл)

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #789841 писал(а):

Его ещё можно свести к некоторому однородному неравенству.

Вот ещё одно неоднородное.
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ докажите, что

$$\sqrt[3]{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}+abc\geq ab+ac+bc$$

по Гельдеру :

$$LHS \ge ab+c +abc \ge ab+ac+bc $$

$$c(1-a)(1-b) \ge 0$$

[arqady]

Да!
Следующее неоднородное неравенство, может быть, хорошо известно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $abc>1$, докажите, что:

$$\frac{1}{a+b+c-3}+\frac{1}{abc-1}\geq\frac{4}{ab+ac+bc-3}$$

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #793695 писал(а):

Да!
Следующее неоднородное неравенство, может быть, хорошо известно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ таких, что $abc>1$, докажите, что:

$$\frac{1}{a+b+c-3}+\frac{1}{abc-1}\geq\frac{4}{ab+ac+bc-3}$$

$a+b+c = p$ , $ab+bc+ca = r^2+4Rr$ , $abc=pr^2$ ( $a,b,c$ - расстояния от вершин до точек касания вписанной окружности)

Тогда неравенство перепишется :

$$ \frac{1}{p-3}+\frac{1}{pr^2 -1}\geq\frac{4}{r^2+4Rr -3}$$

Минимум левой части, при фиксированных $r$ и $R$ , достигается когда треугольник равнобедренный.

$$\frac{1}{2a+b-3}+\frac{1}{a^2b-1}\geq\frac{4}{2ab+a^2-3}<=>(a-1^2)(a^2b+2ab^2+2a+b-6ab)\ge 0$$

[arqady]

Sergic Primazon в сообщении #797895 писал(а):

$$ \frac{1}{p-3}+\frac{1}{pr^2 -1}\geq\frac{4}{r^2+4Rr -3}$$

Минимум левой части, при фиксированных $r$ и $R$ , достигается когда треугольник равнобедренный.

Как Вы это доказываете?

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #797934 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #797895 писал(а):

$$ \frac{1}{p-3}+\frac{1}{pr^2 -1}\geq\frac{4}{r^2+4Rr -3}$$

Минимум левой части, при фиксированных $r$ и $R$ , достигается когда треугольник равнобедренный.

Как Вы это доказываете?

Максимум, как и минимум $p$ при фиксированных $R$ и $r$ , достигается для "крайних" равнобедренных треугольников.

$p= 2R \sin(\alpha)+ r \ctg(\frac{\alpha}{2}) $

[fibonacci]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Да!
Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2 b^2 1} \frac{b}{b^2 c^2 1} \frac{c}{c^2 a^2 1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

Только надо использовать метод uvw

-- 25.12.2013, 19:41 --

точнее а2=x3 и т.д

[arqady]

fibonacci в сообщении #805979 писал(а):

Только надо использовать метод uvw

Неравнство, о котором Вы написали (если я правильно разобрался в Ваших "иероглифах"), циклическое и применение $uvw$ к нему - тупик, скорее всего.

[Null]

$$\frac{1}{a+b+c-3}+\frac{1}{abc-1}-\frac{4}{ab+bc+ca-3}=\frac{a(b-1)^2(c-1)^2+b(a-1)^2(c-1)^2+c(b-1)^2(a-1)^2}{(ab+bc+ca-3)(abc-1)(a+b+c-3)}$$

[arqady]

Это неравенство я доказал с помошью $uvw$.

[TR63]

arqady в сообщении #784543 писал(а):

Да!
Вот ещё.
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительные числа, для которых $abc=1$. Докажите, что:

$$\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1}\leq1$$

(интересно)

Если убрать ограничение $abc=1$, то неравенство становится неверным.
Например, $(a,b,c)=(0.87, 0.97, 1.07)$

(Оффтоп)

если убрать ограничение $abc=1$, то я не могу найти контрпример для случая, когда $a^2\geq\frac5 4$,$b^2\geq\frac5 4$, переменная (c)- любое действительное число и даже для $a\geq1$, $b\geq1$. Контрпример для того, чтобы неравенство стало неверным.

[TR63]

(Оффтоп)

Уточнение: при $abc>1$.