Обоснование перехода в степенном ряде

[Jhon]

$\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}2t^{2n}(-1)^{n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}2t^{2n}(-1)^{n}dt$ $R=1$
Правильно ли обоснование, что в степенном ряде на области сходимости всегда можно почленно проинтегрировать?

[ex-math]

Ну допустим. Только где у Вас область сходимости и каково $x$?

[iifat]

И почему в конце концов вдруг возникает конкретное число? Если $\int_0^xf(t)dt=1$, то $f(t)=1'=0$

[Jhon]

$R=1$ то бишь область сходимости $(-1;1)$,икс принадлежит области сходимости

[provincialka]

Jhon в сообщении #797622 писал(а):

Правильно ли обоснование, что в степенном ряде на области сходимости всегда можно почленно проинтегрировать?

Точнее, на любом отрезке, входящем в область сходимости. А у вас входит? Какие значения принимает $x$?

[Jhon]

икс принимает значения от минус единицы до единицы, соответcтвенно если взять за отрезок некие $a$и $b$, входящие в область, то переход будет обоснован?

[ewert]

Jhon в сообщении #797672 писал(а):

если взять за отрезок некие $a$и $b$, входящие в область, то переход будет обоснован?

Да, будет. Но только если они строго внутри.

(согласно стандартной теореме, степенной ряд сходится равномерно в любом круге, именно строго лежащем в круге сходимости; на этом и игра строится)