Найти f'(0) исходя из определения производной

[zircon63]

$\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}arctgx \cdot \sin (\frac{7}{x}),x \ne 0\\0,x = 0\end{array} \right.\]$
Функция непрерывна.
Производные слева и справа от нуля не существуют значит $f'(0) = 0$?

[Legioner93]

А где вы исходили из определения производной-то? Вы его вообще знаете? Производная в точке (в т.ч. в нуле) - это какой-то конкретный предел. Считайте его.

[bot]

zircon63 в сообщении #796564 писал(а):

Производные слева и справа от нуля не существуют значит $f'(0) = 0$?

Если левой (или правой) производной нет, то тем более нет и двусторонней.

[zircon63]

$\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0 - 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\arctg(x + \Delta x)\sin (\frac{7}{{x + \Delta x}}) - \arctgx \cdot \sin (\frac{7}{x})}}{{\Delta x}}\\\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0 + 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\arctg(x + \Delta x)\sin (\frac{7}{{x + \Delta x}}) - arctgx \cdot \sin (\frac{7}{x})}}{{\Delta x}}\end{array}\]$
Надо найти 2 этих предела?

[Otta]

Нет, Вы же в нуле хотите искать производную. И зачем два предела. Напишите один: определение производной в общем виде, потом подставьте туда нужную точку, в которой собираетесь ее считать, потом - все остальное.

[zircon63]

$\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\arctg(0 + \Delta x)\sin (\frac{7}{{0 + \Delta x}}) - \arctg0 \cdot \sin (\frac{7}{0})}}{{\Delta x}}\]$
такой предел значит надо посчитать?

[Legioner93]

zircon63
Не такой. Вас деление на ноль не смущает? Во втором слагаемом ошибка, подумайте, там очевидно.