Сходимость несобственного интеграла

[StrMth]

$\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos xdx}{(\ln(1+x) - \ln x )^{\alpha}}$
Собственно у меня получилось , что он сходится абсолютно при $\alpha <-1$
Дальше , я доказал, что абсолютной сходимости при $\alpha >-1$ не будет , а что насчет обычной сходимости?

[gris]

Чего-то насчёт неотрицательных альф сомнение. Ну хотя бы взять ноль.
Знаменатель подальше вправо можно упростить по эквивалентностям. И что получится?

[StrMth]

Описка, поправил

[Otta]

Любопытно, как Вы доказали, что

StrMth в сообщении #795090 писал(а):

Дальше , я доказал, что абсолютной сходимости при $\alpha >-1$ не будет

Я думаю, что Вам показалось, что доказали. Потому что эта задача включает в себя умение делать "обычную" сходимость идентичного интеграла.

Ну и какие признаки сходимости (кроме тех, что для знакопостоянного случая), Вам известны? Вот их и используйте.

[StrMth]

Я доказывал через отрицание критерия Коши; в том то и проблема, что у меня что-то никак не получалось под них подвести(Дирехле, Абель)

[Otta]

StrMth в сообщении #795145 писал(а):

через отрицание критерия Коши

Не жалеете Вы себя.

Да-да. Дирихле вот, Абель. Не знаю, какие у Вас проблемы. Бывает, параметр мешает понимать происходящее. Возьмите конкретный тогда, если так. $\alpha=-1/2$, например. Потом остальные посмотрите.

[StrMth]

Вот например, я пробовал по Дирихле:
косинус непрерывен и имеет ограниченную первообразную , но стоит взять второй множитель,
$\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{x})^{\alpha}}$ и его предел на бесконечности не ноль ведь будет

[Otta]

StrMth в сообщении #795152 писал(а):

но стоит взять второй множитель,
$\frac{1}{\ln(1+\frac{1}{x})^{\alpha}}$ и его предел на бесконечности не ноль ведь будет

При каких значениях параметра?

[provincialka]

А как вы считали этот предел? Чему эквивалентен $\ln(1+\frac1x)$?

[StrMth]

Эквивалентен 1/x
при положительных, да, понял, значит нужно рассмотреть промежуток от -1 до 0

[StrMth]

При $\alpha\geqslant0 $ сходимости ведь не будет, да? Как это можно показать?