Пуассоновское распределение

[ReySK]

Здравствуйте!
Задача на доказательство.

Пусть $\xi_1$, $\xi_2$, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих пуассоновское распределение. Доказать, что

$$P (\lim \sup (\xi_n\ln(\ln n))/ \ln n = 1 ) = 1$$

В условии только это. Предел, как я понимаю, при $n\to\infty$
Я знаю, что представляет собой пуассоновское распределение случайной величины,
условие независимости:
$$f(\xi_i | \xi_j) = f_2 (\xi_i), i,j =1,2,... $$ $ i \not= j$.
Можно ли подставить вместо $\xi_n$

$$\lambda^n\exp(-\lambda)/n!$$

?
И если нельзя, то как в таком случае действовать, к какому результату идти?

[svv]

$\ln(\ln n)$, ${\ln n}$ в знаменателе.
Что это значит при $n=1$?

[ReySK]

Весь предел равен единице.

[svv]

Я пока что спрашиваю не про предел. До того как находить предел, мы должны знать, чему равно то, что под пределом, при разных $n$, начиная с $n=1$, потом для $n=2$, $n=3$, и так далее. Так вот я не знаю, как вычислить эти выражения при $n=1$, они же не имеют смысла.

[ReySK]

Да, Вы правы.
Но задание именно такое. Что, если начинать с $n=2$?
Тем более, что рассматривать надо в пределе.

[svv]

Это задача 6.120 из книги:
Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей.

В задачнике формула выглядит так:

$$\textsf{P} \left(\lim \sup \frac{\xi_n \ln\ln n}{\ln n}=1\right)=1$$

[ReySK]

Видимо, я что-то пропустила. Так не скажете, с чего следует начать?

[--mS--]

Наверное, с определения. Что означает, что верхний предел равен 1 с вероятностью 1? Можно ли это переформулировать в терминах каких-то событий, связанных с отдельными членами последовательности $\{\xi_n\}$?

[ReySK]

Такая формулировка используется во второй лемме Бореля-Кантелли,

$$\textsf{P} \left( \lim \sup {A_n} \right) =1$$

, если события $A_n$ совместно независимы, а ряд
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} P( A_n) $ расходится.

Т.е. мне надо доказать, что с.в. $A_n = \frac{\xi_n \ln\ln n}{\ln n}$ независимы в совокупности и расходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} P( A_n) $ ?
Только я не могу понять, как использовать условие стремления к единице $\lim \sup {A_n}$

[--mS--]

Сначала бы невредно заметить, что $\frac{\xi_n \ln\ln n}{\ln n}$ - не события. После того как заметите и выясните, в чём разница, вернитесь к исходному вопросу:

--mS-- в сообщении #792804 писал(а):

Наверное, с определения. Что означает, что верхний предел равен 1 с вероятностью 1? Можно ли это переформулировать в терминах каких-то событий, связанных с отдельными членами последовательности $\{\xi_n\}$?

А лучше положите задачу туда, где брали, и скажите тому, кто её дал, что она Вам не по зубам.