Применяя метод ма. индукции доказать

[danyatinka]

$(1+\frac{1}{2})\cdot(1+\frac{1}{4})\cdot(1+\frac{1}{8})\cdot...\cdot(1+\frac{1}{2^n})<3$

Попытки:

$\ln((1+\frac{1}{2})\cdot(1+\frac{1}{4})\cdot(1+\frac{1}{8})\cdot...\cdot(1+\frac{1}{2^n}))<\ln3$

$\ln(1+\frac{1}{2})+\ln(1+\frac{1}{4})+\ln(1+\frac{1}{8})+...+\ln(1+\frac{1}{2^n})<\ln3$

Дальше можно прийти к гармоническому ряду и через сумму геометрической прогрессии доказать что это меньше 3, но тут нет и следа мат.индукции. А мне как раз с помощью нее и нужно доказать.

[provincialka]

Правила!

[ewert]

danyatinka в сообщении #791837 писал(а):

$(1+1/2)\cdot(1+1/4)\cdot(1+1/8)\cdot...\cdot(1+1/2^n)<3$

Раз произведение -- то автоматом логарифм. А тут так приятно, что логарифм каждого сомножителя строго меньше своего предельного поведения.

Но это, конечно, если по существу. Т.е. если логарифм уже известен.

[provincialka]

Судя по другому вопросу того же автора (на раскрытие неопределенности) - да, известен.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

danyatinka в сообщении #791837 писал(а):

Примеры попыток приводить не буду, ибо все они на черновиках, где сложно будет разобрать, что написано

Если Вы все наберете в $\TeX$, то проблем не будет: разберем как-нибудь.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Для индукции можно записать более сильное неравенство, которое верно при каждом $n$. Оцените логарифмы сверху и найдите соответствующую (конечную) сумму.

[ИСН]

Не надо логарифмов. Надо что-то типа того, что произведение $\le3-{3\over2^n}$.

[TR63]

ewert в сообщении #791857 писал(а):

Раз произведение -- то автоматом логарифм.

Можно применить АМ-ГМ. Там будет и метод мат. индукции задействован.

[bot]

А ещё есть $(1+\frac1n)^n<e<3$

[danyatinka]

Дело в том, что нужно решить именно математической индукцией

[arseniiv]

danyatinka в сообщении #791837 писал(а):

но тут нет и следа мат.индукции. А мне как раз с помощью нее и нужно доказать.

Если у вас есть доказательство $\forall x\mathbin.P(x)$, полученное не математической индукцией, можно получить и доказательство математической индукцией. База? Выполняется, мы же доказали для всех. Переход? Выполняется, мы же доказали для всех, а из истины следует истина. Индукция готова.

Требование задачи не очень хорошо сформулировано. Надо было авторам задачи написать «использовать индукцию, такие-то утверждения и ни в коем случае не выводить этакие-то», но это слишком громоздко. Вот они и попались!

[TR63]

danyatinka в сообщении #791837 писал(а):

но тут нет и следа мат.индукции. А мне как раз с помощью нее и нужно доказать.

danyatinka,
А, вот, bot видит мат. индукцию.(Во всяком случае она там есть.)

-- 24.11.2013, 19:14 --

Есть именно след мат. индукции.

-- 24.11.2013, 19:15 --

В явном виде.

[ewert]

bot в сообщении #792031 писал(а):

А ещё есть $(1+\frac1n)^n<e<3$

Это ещё как сказать, есть ли. Для этого нужно как минимум знать, что такое "е". А это почти то же самое, что знать про выпуклость логарифма.

[Shadow]

это анти-математика, но если партия сказала "надо". Представить тройку как $S=3(\frac 1 2 +\frac 1 4 +\cdots)$

и доказать что если
$P<S<3$
то
$P(1+\frac {1}{2^k})<S+3\cdot \frac {1}{2^k}$

похоже на индукция.