Ускорение устойчиво движущейся по окружности мат. точки.

[bondar]

Для случая движущейся по окружности материальной точки, когда ее радиус-вектор $\vec{r}$ ортоганален вектору ее линейной скорости $\vec{v}$, запишем

$\left ( \vec{r}\times \vec{v} \right )^2=\vec{r}^2\cdot \vec{v}^2=Const$.

Так как операция получения следующей функциональной зависимости

$\vec{v}^{2}=\frac{Const}{\vec{r}^{2}}$, (*)

где $\left | \vec{v} \right |=\left | d\vec{r} /dt\right|=Const$, не требует определения смысла параметра $t$ и числового значения Const в этом выражении, продифференцируем последнее (*):

$2\vec{v}\frac{d\vec{v}}{dt}=-Const\frac{2\vec{r}\vec{v}}{\left ( \vec{r}^2 \right )^2}$.

Используя определение ускорения $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\left ( d\vec{r}/dt \right )}{dt}$, а также скоращением на $2\vec{v}$ исключая скалярную операцию в полученном уравнении, запишем выражения для центростремительного ускорения

$\vec{g}=\frac{d\left ( d\vec{r}/dt \right )}{dt}=-Const\frac{\vec{r}}{\left ( \vec{r}^2 \right )^2}=-Const\frac{\vec{e}_{r}}{r^3}$ (**)

а также для ускорения центробежного

$\vec{a}_{n}=\frac{d\left ( d\vec{r}/dt \right )}{dt}=Const\frac{\vec{e}_{r}}{r^3}$.

Выражение (**) определяет однозначную зависимость центростремительного ускорения движущейся по окружности мат. точки от радиус-вектора, а поэтому неоспорим вывод:

Мат. точка только тогда движется устойчиво по окружности, когда центростремительное ускорение $g$ по величине обратнопропорционально кубу радиуса окружности $r^3$

$g=M/r^3$,

а не квадрату, как это принято в ньютоновской гравитационной теории

$g=\gamma M/r^2$.

[DimaM]

bondar в сообщении #791072 писал(а):

$2\vec{v}\frac{d\vec{v}}{dt}=-Const\frac{2\vec{r}\vec{v}}{\left ( \vec{r} \right )^2}$

Неправильно взята производная.

bondar в сообщении #791072 писал(а):

скоращением на $2\vec{v}$ исключая скалярную операцию в полученном уравнении

Ну, "скоращением", наверно, можно. А так-то ${\bf r}\cdot{\bf v}=0$.

[bondar]

DimaM в сообщении #791076 писал(а):

bondar в сообщении #791072 писал(а):

$2\vec{v}\frac{d\vec{v}}{dt}=-Const\frac{2\vec{r}\vec{v}}{\left ( \vec{r} \right )^2}$

Неправильно взята производная.

Ессно это опечатка. Выражение выглядит, как

$2\vec{v}\frac{d\vec{v}}{dt}=-Const\frac{2\vec{r}\vec{v}}{\left ( \vec{r}^2 \right )^2}$

посмотрите ниже в (**) это видно.

ps Опечатка исправлена в исходном посту, спасибо.

[Ms-dos4]

bondar
Сначала вы пишите, что радиус вектор ортогонален скорости, значит $\[(\vec r,\vec v) = 0\]$. А вы взяли и сократили на $\[{\vec r}\]$. Так нельзя. Всё, что вы получили - это $\[(\vec a,\vec v) = 0\]$ (общеизвестный факт при данном типе движения).

[DimaM]

bondar в сообщении #791078 писал(а):

посмотрите ниже в (**) это видно

Это, по большому счету неважно, поскольку дальше "скоращению" подвергается выражение $0=0$.

[bondar]

Ms-dos4 в сообщении #791082 писал(а):

bondar
Сначала вы пишите, что радиус вектор ортогонален скорости, значит $\[(\vec r,\vec v) = 0\]$. А вы взяли и сократили на $\[{\vec r}\]$. Так нельзя. Всё, что вы получили - это $\[(\vec a,\vec v) = 0\]$ (общеизвестный факт при данном типе движения).

Слова, слова...

Где Ваше МАТЕМАТИЧЕСКОЕ обоснование сказанного Вами "Так нельзя"?

Пока Вы на форуме не докажете, что "Так нельзя", исключение скалярной операции сокращением на $2\vec{v}$ остается законной операцией.

[Ms-dos4]

bondar
Вы понимаете, что у вас записано уравнение $\[0 = 0\]$? А вы затем его ещё и преобразовываете.

[bondar]

Ms-dos4 в сообщении #791418 писал(а):

bondar
Вы понимаете, что у вас записано уравнение $\[0 = 0\]$? А вы затем его ещё и преобразовываете.

Где МАТЕМАТИЧЕСКОЕ доказательство того, что "Так нельзя"? Возгласы - не доказательства!

[Ms-dos4]

bondar
$\[(\vec a,\vec b) = (\vec a,\vec c)\]$
Вы его "скоращаете" и получаете $\[\vec b = \vec c\]$. Но вот незадача, пусть
$\[\begin{array}{l} \vec a = (1,0,0)\\ \vec b = (0,1,0)\\ \vec c = (0,0,1) \end{array}\]$
Тогда $\[(\vec a,\vec b) = 0 = (\vec a,\vec c)\]$ но $\[\vec b \ne \vec c\]$

[migmit]

Как говорил наш учитель физики, "Я те покажу делить на вектор!"

[bondar]

Ms-dos4 в сообщении #791420 писал(а):

bondar
$\[(\vec a,\vec b) = (\vec a,\vec c)\]$
Вы его "скоращаете" и получаете $\[\vec b = \vec c\]$. Но вот незадача, пусть
$\[\begin{array}{l} \vec a = (1,0,0)\\ \vec b = (0,1,0)\\ \vec c = (0,0,1) \end{array}\]$
Тогда $\[(\vec a,\vec b) = 0 = (\vec a,\vec c)\]$ но $\[\vec b \ne \vec c\]$

Вот ведь незадача, но Ваши упражнения к рассматриваемому случаю отношения не имеют, так как для рассматриваемого случая устойчивого движения мат.точки по окружности вектора $\vec r , \vec v , \vec g $ постоянно находятся в плоскости вращения.

И это даже не затрагивая вопроса о том, что Вы изначально НЕКОРРЕКТНО интерпретируете функциональные выражения.

Вот с чего Вам необходимо начинать для находящихся в одной плоскости векторов, если Вы решили играть с их обозначениями:

$\[(\vec v,\vec g) = (\vec v,f(\vec c))\]$.

Это имеет такое же отношение к Вашим упражнениям, как Ваше "Так нельзя" имеет отношение к приводимому в подтверждение этого возгласа "доказательству".

-- 23.11.2013, 16:19 --

migmit в сообщении #791519 писал(а):

Как говорил наш учитель физики, "Я те покажу делить на вектор!"

Являющаяся следствием записи в дифференциальной форме закона сохранения механической энергии системы двух гравитационно взаимодействующих, в отсутствие других внешних сил, материальных тел массой $m$ и $M$

$\mu d(v^2/2)=-d(\gamma mM/r)$, (1)

где $\mu=mM/(m+M)$ - приведенная масса системы, и отражающая в интегральной форме (постоянная интегрирования в рассматриваемом случае отсутствия внешних сил равно нулю) НЕ закон сохранения момента количества движения (не закон сохранения секторной скорости) для движения гравитирующих тел по концентрическим окружностям вокруг центра масс системы, а некоторый другой без названия, существование которого в ньютоновской гравитационной теории для случая $m$ < < $M$ “скромно” замалчивается

$ v^2r=2\gamma M$, (2)

ньютоновская функциональная зависимость величин $g$ и $r$

$g=2\gamma M/r^2 $, (3)

отношения к описанию наблюдаемого на опыте устойчивого движения мат.точек по окружности не имеет, так как из (2) очевидно, что
$d(v^2r)/dt=2vgr-v^2v=0$,(4)

$2g=v^2/r$. (5)

Следовательно, изложенное в очередной раз доказывает справедливость сделанного в головном посте вывода о единственно возможной обратнопропорциональной функциональной зависимости величины $g$ от $r^3$ вида

$g=M/r^3$

для описания устойчивого движения мат.точки по окружности, удовлетворяющей экспериментально подтвержденному для вращения выражению взаимосвязи величин $g, v^2, r$

$g=v^2/r$.

Вывод из вышеизложенного однозначен и обжалованию не подлежит: Теория гравитации Ньютона несовместима с описанием экспериментально наблюдаемого устойчивого движения по окружности в системе гравитационно взаимодействующих материальных тел!

[Aritaborian]

Вы удивительным образом смешиваете физику и математику. Вам убедительно показали, почему нельзя сокращать на вектор. Почитайте лучше учебник алгебры.

[bondar]

Aritaborian в сообщении #791767 писал(а):

Вы удивительным образом смешиваете физику и математику. Вам убедительно показали, почему нельзя сокращать на вектор. Почитайте лучше учебник алгебры.

Никто до сих пор этого так и не сделал, даже Вы..

[Ms-dos4]

bondar
На плоскости деление на вектор так же неопределено (неоднозначно), можете сами немного модифицировать мой пример.Если вы продолжите нести чушь, к вам примут меры.

[arseniiv]

bondar, $(\vec a,\vec b)$ — это длина проекции $\vec b$ на направление $\vec a$, умноженная ещё на $a$. $(\vec a,\vec b)=(\vec a,\vec c)$ потому означает только, что $\vec b$ и $\vec c$ имеют одинаковые проекции на направление $\vec a$, и никак больше их не связывают. Потому разделить скаляр $(\vec a,\vec b)$ на вектор нет никакой возможности — нужен однозначный ответ, а выбор у нас из целой гиперплоскости. Только в случае одного измерения мы можем определить такое деление, потому что в этом случае гиперплоскость — это точка. В больших размерностях гиперплоскость — это прямая, обычная двумерная плоскость, 3-пространство, и никаких улучшений не предвидится. Потому и сокращать скаляр (в том числе и скалярное произведение) на вектор нельзя. Вектор на вектор сокращать в попытке получить скаляр тоже нельзя, потому что, наоборот, может не быть никаких вариантов ответа.

-- Сб ноя 23, 2013 22:28:07 --

Деление и можно было бы определить, но оно должно тогда давать не скаляр и не вектор, а неведому зверушку, которая вам в расчётах никак не поможет.