Бесконечное произведение

[Somenoob]

Где посмотреть приемы вычисления? В гугле что-то не нашел особо, мало информации почему-то, только признаки сходимости нашел.
Интересует произведение рациональных дробей.
Спасибо.

[mihailm]

Ну если умеете находить суммы рядов, то логарифмирование переводит любое произведение в сумму

[Somenoob]

mihailm в сообщении #789711 писал(а):

Ну если умеете находить суммы рядов, то логарифмирование переводит любое произведение в сумму

Ну на обычном уровне да, умею, но там слагаемые суммы для разных членов должны сокращаться. В общем, есть задача:
$\prod_k^{\infty} \frac{x^2 - a \cdot x - b} {x^2 - a \cdot x} = A$
Задача найти $A$, произведение начинается в какого-то натурального $k$, иксы - натуральные.

Вот расписываю в виде суммы логарифмов, получается:
$\sum \ln(x(x-a)-b) - \ln(k-1) - \ln(x)$
Вроде бы к бесконечности стримится, но вольфрам математика говорит, что не обязательно (не при всех $a$ и $b$).

[mihailm]

Ваше произведение сходится всегда (ну разве что знаменатель случайно может обнулиться)

[Евгений Машеров]

Somenoob в сообщении #789727 писал(а):

Вот расписываю в виде суммы логарифмов, получается:
$\sum \ln(x(x-a)-b) - \ln(k-1) - \ln(x)$

Не совсем понял.

[sup]

Я так понимаю, что речь идет о произведении
$\prod \limits_{x=k}^{\infty} \frac{x^2 - a \cdot x - b} {x^2 - a \cdot x}$
где $x$ пробегает натуральные числа, начиная с $k$. Ясно, что проблемы могут быть только лишь с $x = 0$ и $x = a$. Но с этими случаями легко разобраться.
Со сходимостью произведения все просто. Есть хороший признак. А для вычисления предлагаю расписать числитель как
$x^2 - a \cdot x - b = (x - \alpha)(x - \beta)$
и воспользоваться $\Gamma$-функцией. А именно, ее свойством
$z = \frac {\Gamma(z+1)}{\Gamma(z)}$

[Somenoob]

sup в сообщении #789959 писал(а):

Я так понимаю, что речь идет о произведении
$\prod \limits_{x=k}^{\infty} \frac{x^2 - a \cdot x - b} {x^2 - a \cdot x}$
где $x$ пробегает натуральные числа, начиная с $k$. Ясно, что проблемы могут быть только лишь с $x = 0$ и $x = a$. Но с этими случаями легко разобраться.
Со сходимостью произведения все просто. Есть хороший признак. А для вычисления предлагаю расписать числитель как
$x^2 - a \cdot x - b = (x - \alpha)(x - \beta)$
и воспользоваться $\Gamma$-функцией. А именно, ее свойством
$z = \frac {\Gamma(z+1)}{\Gamma(z)}$

Допустим, что $a=1$, $b=2$. На примере.

Расписал $\prod_k^\infty \frac {(t+1)(t-2)} {t(t-1)}$

Далее переходим к Гаммам (если я правильно понял подсказку):
$\prod_k^\infty \frac {\Gamma(t+2) \Gamma(t-1)^2} {\Gamma(t-2) \Gamma(t+1)^2}$
Не понимаю, куда дальше?

Евгений Машеров в сообщении #789949 писал(а):

Не совсем понял.

Я там ошибся, ерунду написал.

mihailm в сообщении #789943 писал(а):

Ваше произведение сходится всегда (ну разве что знаменатель случайно может обнулиться)

То что сходится понятно :) Вопрос, к нулю или нет.

[sup]

Хм, ну Вы же хотели чтобы там все посокращалось. Ну и выпишите с пяток членов произведения. Что получится?

[Somenoob]

sup в сообщении #789992 писал(а):

Хм, ну Вы же хотели чтобы там все посокращалось. Ну и выпишите с пяток членов произведения. Что получится?

Да, я ща сижу выписываю, сокращаю. Не подумав ответил.

Получилось!
Произведение, при $k=5$, равно $\frac {\Gamma(4) \Gamma(5)} {\Gamma(3) \Gamma(6)}$. Спасибо sup!

[sup]

Хм. Ну может быть. В данном случае сдвиги целые. А в общем случае, для произвольных $a,b$? В общем случае без формулы Стирлинга не обойтись.

-- Пн ноя 18, 2013 14:25:48 --

К слову. Вы уже заметили, как $\Gamma$ - функция помогает вычислять произведения с линейными сомножителями.
Однако она же помогает считать и ряды с простыми дробями. Для этого достаточно взять логарифм и продифференцировать.
Получим
$\frac {\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)} = \frac {1}{z} + \frac {\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$
Ну а теперь попробуйте с помощью этого тождества сосчитать что нибудь типа
$\sum \limits_n \left ( \frac {1}{n +a} - \frac {1}{n +b} \right )$
В общем, слон животное полезное полезная эта штука $\Gamma$ - функция.

[Евгений Машеров]

Знак произведения перед выражением с гаммами точно нужен?

[Somenoob]

Евгений Машеров в сообщении #789999 писал(а):

Знак произведения перед выражением с гаммами точно нужен?

Да, там видите квадраты у меня. Это не та формула, что на вики, ту я не понял (там все равно останутся некоторые члены произведения из начала последовательности, в вики этого не видно).

sup! Я вечером подумаю над вашим предложением, в том числе о формуле Стирлинга.

[mihailm]

Somenoob в сообщении #789990 писал(а):

mihailm в сообщении #789943 писал(а):

Ваше произведение сходится всегда (ну разве что знаменатель случайно может обнулиться)

То что сходится понятно :) Вопрос, к нулю или нет.

Обычно бесконечные произведения не имеют права сходиться к нулю, я эту условность учитывал.
Ваше точно сходится и НЕ к нулю, например признак сравнения в предельной форме к логарифму примените

[Somenoob]

mihailm в сообщении #790037 писал(а):

Обычно бесконечные произведения не имеют права сходиться к нулю, я эту условность учитывал.

Допустим, $\prod_{k=1}^{\infty} a^k$, где $0<a<1$. У меня близкая ситуация, но члены произведения стремятся к единице. Вопрос, достаточно ли быстро они стремятся к единице, чтобы произведение не стремилось к нулю?

mihailm в сообщении #790037 писал(а):

Ваше точно сходится и НЕ к нулю, например признак сравнения в предельной форме к логарифму примените

Мне вольфрам математика говорит, что при $a=3$ и $b=2$, например, в моей задаче произведение будет стремиться к нулю.
Я поэтому и написал сюда, на бумаге хочется понять, почему, и где пролегает граница.

[mihailm]

Somenoob в сообщении #790084 писал(а):

...$\prod_{k=1}^{\infty} a^k$, где $0<a<1$...

Не рассматривают такие бесконечные произведения - см. выше.
Нет границ. Всегда сходится ваш ряд не к нулю - исключения числитель или знаменатель каких то дробей в ноль обращается