2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Диффур
Сообщение16.11.2013, 20:14 
Что это за задачка, где почитать о её решении?
$$-\Delta u+(2-|x|)u=f(x), |x|<1$$

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 20:54 
$x$ какому множеству принадлежит? (есть подозрение, что $\dim x=1$)

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 21:10 
Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

И зачем тогда "вычурный" набла квадрат ставить? Не проще ли уж сразу производную написать


vlad_light
В случае, если $\[u = u(x,y)\]$, такие уравнения (вида $\[a(x)\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + b(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + c(x)u =  - \varphi (x,y)\]$, если я не ошибаюсь) разобраны в справочнике Полянина по линейным УМФ.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 21:31 
Ms-dos4 в сообщении #789404 писал(а):
разобраны в справочнике Полянина по линейным УМФ.

Про "разобрано" глупо говорить пока не поставлена краевая задача

если, например, речь идет о нулевых условиях Дирихле, то задача решается вполне стандартно с помощью теоремы Рисса, (если по крайней мере $f\in H^{-1}(\{|x|<1\})$)

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 22:02 
Условия могут быть такими? $$ \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow \nu}\bigg |_{x_1 > 0, |x|=1}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial \overrightarrow \nu}+u\bigg |_{x_1 < 0, |x|=1}=0$$Скорее всего $\dim x>1$, потому что в условиях выделено $x_1$. Похоже на задачу Неймана. Можете "решебник" подсказать?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 22:35 
vlad_light
Я что то не понял, то у вас функция$\[u(x,?)\]$ , а то вы говорите что $\[\dim x > 1\]$. Или вы имеете ввиду, что $\[x = ({x_1},{x_2},...)\]$?
Граничные условия можно задавать по разному(хоть разбивать границу на части и на одном куске задавать например по Дирихле, на другом по Нейману), но мы пока до конца не выяснили что у вас за функция $\[u\]$. А пока мы не знаем на чём она задана, говорить о граничных условиях смысла нет. Вы лучше полностью приведите задание, и откуда оно взято.
P.S.А справочник я вам уже указал. Причём в нём есть и "общая теория".

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 22:54 
vlad_light в сообщении #789436 писал(а):
Скорее всего $\dim x>1$, потому что в условиях выделено $x_1$. Похоже на задачу Неймана. Можете "решебник" подсказать?

о решебнике и речи быть не может, задача не классическая и условия, думаю, это не все. Это надо сперва прояснить точную постановку, а потом брать и решать самому.

Возможно, будет полезна книжка
R. E. Showalter Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations

она есть в интернете в свободном доступе

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 23:12 
Спасибо, я как раз Ваш справочник и читаю :-)
Да, я имел ввиду, что $x = ({x_1},{x_2},...)$. Задание попросили решить, а откуда оно взято -- не знаю.
Скорее всего, $u$ -- некоторая функция, которая внутри единичной сферы должна удовлетворять уравнению, а на границе -- граничным условиям.
Как я понял, поскольку у нас 2 граничных условия, то мы можем решить две задачи (с разными гр. усл.) и записать ответ, как объединение решений для каждого из условий (при соответствующих $x_1$).
В учебнике (на 39 стр.) нашёл следующее:
$$L_x[u]=\Delta u (x)+(|x|-2)u(x),\qquad |x|<1$$$$\Gamma ^{(1)} _x[u]=\frac {\partial u}{\partial M_x}(x),\qquad\Gamma ^{(2)} _x[u]=\frac {\partial u}{\partial M_x}(x) +u(x), \qquad |x|=1$$Тогда $$u(x)=\int _{|x|<1}f(y)G(x,y)dV_y$$где $$G(x,y)=\sum\limits _{k=1}^\infty \frac {u_k(x)u_k(y)}{\| u_k\| ^2\lambda _k}$$$u_k$ и $\lambda _k$ определяются из уравнений: $$L_x [u]+\lambda u=0$$$$\Gamma _x[u]=0, \qquad |x|=1$$Пока читаю дальше... Вот эти $u_k$ и $\lambda _k$ можно явно найти для данной задачи?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 23:22 
а это ничего, что такое "решение" не единственно? :mrgreen:

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 23:37 
Цитата:
а это ничего, что такое "решение" не единственно? :mrgreen:

Хотя бы одно найти :-) Можете помочь с нахождением?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.11.2013, 23:53 

(Оффтоп)

vlad_light в сообщении #789489 писал(а):
Можете помочь с нахождением?
Нет уж увольте, я думал, что у Вас серьезный вопрос, а по таким "задачам" здесь Ms-dos4 специалист :mrgreen: .

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение17.11.2013, 00:09 

(Оффтоп)

Цитата:
Нет уж увольте, я думал, что у Вас серьезный вопрос
Простите, но у меня для Вас вряд ли могут быть серьёзные вопросы :oops: Надеюсь, Ms-dos4 поможет.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение17.11.2013, 06:41 
vlad_light
Так. Ну во первых определитесь, функция $\[u\]$ зависит от скольких аргументов?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение17.11.2013, 16:28 
$u=u(x), x\in\mathbb R^n$, т.е. от 1 аргумента.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение17.11.2013, 19:06 
vlad_light
Не верю, что бы в качестве учебной задачи дали уравнение c неизвестной функцией, зависящей от n переменных

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group