Максимальное произведение

[DjD USB]

Пусть $a+b+c=4$ и $ab+bc+ca=4$. Найти М, если М-- максимальное значение, которое принимает произведение $a\cdot b \cdot c$
Я нашел, что $a^2+b^2+c^2=8$. Кроме этого, выражал из первого уравнения одну из переменных и подставлял в другое но пока глухо...

[patzer2097]

DjD USB в сообщении #789260 писал(а):

Пусть $a+b+c=2$ и $a+b+c=4$.

Предлагаю исправить условие

[gris]

Вычев первое уравнение из второго, я получил, что два равно нулю. А всё потому, что у вас $M$ написано не по правилам.

[DjD USB]

patzer2097 в сообщении #789264 писал(а):

DjD USB в сообщении #789260 писал(а):

Пусть $a+b+c=2$ и $a+b+c=4$.

Предлагаю исправить условие

Исправил,

[gris]

А $M$ не исправили. От этого такую сумму квадратов Вы никак не могли получить. Ну разве что с минусом. И такую тоже.

[DjD USB]

gris в сообщении #789269 писал(а):

А $M$ не исправили. От этого такую сумму квадратов Вы никак не могли получить. Ну разве что с минусом. И такую тоже.

Почему не мог? $(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2\cdot 4=16$ Упс, мда опять ошибся. Ну да получим $a^2+b^2+c^2=8$

[gris]

Может быть условный экстремум сработает?

[DjD USB]

gris в сообщении #789271 писал(а):

Может быть условный экстремум сработает?

Это как?

[gris]

Я просто не знаю, Вам можно использовать метод множителей Лагранжа, то есть нахождение условного экстремума, или это задача на чисто числовые дела? Та, вроде бы, производные хорошие получаются.

[DjD USB]

Вроде задача без Лагранжа решается

[Shadow]

Попробуем так:
$\\a+b+c=4\\ ab+bc+ca=4\\ abc=k$

Можете составить кубическое уравнение, корнями которого являются наши числа?

[DjD USB]

$x^3-4x^2+4x-k=0$

[Shadow]

При каком наибольшем "к" все корни будут действительные?

[DjD USB]

Если честно, то я не знаю. Но чувствую( хотя наверно не верно), что k=1

[Shadow]

Никогда функцию не исследовали? Как ведет себя функция - промежутки возростания, убывания...чертите графики функций $y=x^3-4x^2+4x \text{ и } y=k$ Они должны пересечься в трех (можно и двух...) точках.