Как решается такой интеграл?

[n1ks]

В статьях про дробно-рациональные интегралы рассматривается в основном метод неопределенных коэффициентов, либо представление числителя как дифференциала от знаменателя. Пыталась ввести какие-то замены, но упростить так и не получилось. Подскажите пожалуйста, каким способом решаются такие интегралы?
$\int \frac{dt}{(t^2+1)^2}$

[iifat]

Разложением на элементарные, к примеру. То, что вы называете методом неопределённых коэффициентов. $\frac1{(t^2+1)^2}=\frac A{t+i}+\frac B{(t+i)^2}+\frac C{t-i}+\frac D{(t-i)^2}$

[Limit79]

$t = \tg(x)$

[n1ks]

iifat
То есть в действительных числах его не решить?

-- 14.11.2013, 16:54 --

[provincialka]

n1ks есть куча способов. Это называется "простейшая дробь 4 типа". Например, запишите подынтегральное выражение в виде $\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$. Второй интеграл можно взять по частям.

[n1ks]

Limit79
я сделала замену и получила в итоге $\int\frac{d(\arctg(x))}{((\arctg(x))^2+1)^2}$
Пришла получается к тому же...

[Limit79]

n1ks
Пардон, я там переменные перепутал, сейчас поправил. В итоге получите $\int \cos^2(x) dx$

[n1ks]

provincialka
таким способом я пробовала, но вот интегрирование по частям во втором интеграле ничего не дает, там степени увеличиваются с каждым разом $\int \frac{x^2dx}{(1+x^2)^2}=\frac{x^3}{3(1+x^2)^2}+\frac23\int\frac{x^4dx}{(1+x^2)^4}$

-- 14.11.2013, 17:10 --

Limit79
Огромнейшее спасибо)Получилось

[provincialka]

Не так. Там за $u$ берется $x$, а за $dv$ - все остальное. Впрочем, этот метод нужен в общем виде, чтобы рекуррентную формулу написать. Для квадрата вполне подойдет тангенс.

[iifat]

n1ks в сообщении #788557 писал(а):

То есть в действительных числах его не решить?

Можно и в действительных. Но так проще. А результат тот же самый.

[n1ks]

provincialka
А, понятно теперь) Спасибо, буду знать!