Скорость сходимости ряда. Оценка.

[Fantast2154]

Добрый день, нужна помощь знатоков. Каким образом воспользоваться остаточным членом Лагранжа, чтобы оценить, сколько слагаемых ряда нужно сложить, чтобы получить заданную точность?

ряд:

$\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^k\frac {x^{2k+1}} {2k+1}$

[provincialka]

Обязательно Лагранжа? Тогда надо знать функцию, из которой этот ряд получился.
Но можно применять и другие методы, например, учесть чередование знаков.

[ИСН]

...и монотонность убывания по модулю.

[ewert]

Fantast2154 в сообщении #788502 писал(а):

Каким образом воспользоваться остаточным членом Лагранжа,

Грубо говоря -- никак: старшие производные арктангенса никаким хоть сколько-то удобоваримым способом не выписываются. Не говоря уж о том, что на арктангенсе (да и на вообще явно разлагаемых в ряд функциях) свет клином очень далеко не сошёлся.

Здесь, безусловно, надо сводить к признаку Лейбница, т.е. к знакочередованию.

[Fantast2154]

provincialka в сообщении #788505 писал(а):

Обязательно Лагранжа? Тогда надо знать функцию, из которой этот ряд получился.
Но можно применять и другие методы, например, учесть чередование знаков.

$16\cdot \arctg(\frac 1 5) - 4\cdot \arctg(\frac 1 {239})$

[provincialka]

Это что? То, что нужно найти? Ну, то, что ряд задан арктенгенсом и так видно. Но вам уже сказали, что производные у арктангенса плохие.
Зато у знакочередующегося (лейбницевского) ряда остаток не превосходит первого отброшенного слагаемого.

[mihailm]

Это известное выражение для вычисления $\pi$