Сумма двух квадратичных форм

[R_e_n]

Чему равна сумма двух квадратичных форм
$(x-a)^TK^{-1}(x-a)+(x-b)^TH^{-1}(x-b)$

Я решил, что она квадратичная форма и начал подгонять:
$ {(x-a)^TK^{-1}(x-a)+(x-b)^TH^{-1}(x-b)} = (x-c)^TN(x-c)$
Получислось, что если $c=(K^{-1}+H^{-1})(K^{-1}a+H^{-1}b)$ и $N=K^{-1}+H^{-1}$, тогда остается проверить справделивость равенства:
$a^TK^{-1}a+b^TH^{-1}b=(K^{-1}a+H^{-1}b)^T((K^{-1}+H^{-1})^T)^{-1}(K^{-1}a+H^{-1}b)$

[AV_77]

R_e_n в сообщении #787569 писал(а):

Чему равна сумма двух квадратичных форм

Квадратичной форме. Если рассматривать эти формы в одном базисе, то матрица суммы будет равна сумме матриц. Только у вас это не совсем квадратичная форма.

[Утундрий]

$\[ \begin{gathered} x - a \equiv y \hfill \\ b - a \equiv c \hfill \\ \end{gathered} \] $

[ewert]

AV_77 в сообщении #787653 писал(а):

Только у вас это не совсем квадратичная форма.

В смысле совсем не квадратичные формЫ. Функции -- да, квадратичные.

[R_e_n]

AV_77 в сообщении #787653 писал(а):

матрица суммы будет равна сумме матриц.

Утундрий в сообщении #787669 писал(а):

$\[ \begin{gathered} x - a \equiv y \hfill \\ b - a \equiv c \hfill \\ \end{gathered} \] $

Я правильно вас понимаю:
$(x-a)^TK^{-1}(x-a)+(x-b)^TH^{-1}(x-b)=(x-b+a)^T(K+H)^{-1}(x-b+a)$ ?

Мне бы надо знать $c$ и $N$

[Утундрий]

Нет, это просто замена для упрощения выкладок. Подставляете,раскрываете скобки $(y-c)$, группируете, приводите к какому-то там виду...

[bot]

Ну просто скобочки то раскройте. А матрицы зачем обратные? Переобозначьте их $A=K^{-1}, B=H^{-1}$

-- Вт ноя 12, 2013 10:28:23 --

R_e_n в сообщении #787733 писал(а):

Я правильно вас понимаю:
$(x-a)^TK^{-1}(x-a)+(x-b)^TH^{-1}(x-b)=(x-b+a)^T(K+H)^{-1}(x-b+a)$ ?

В частном случае случае одномерных матриц Вы же не ожидаете, что получится

$\frac1k(x-a)^2+\frac1h(x-b)^2=\frac{1}{k+h}(x-b+a)^2$ ?

[R_e_n]

bot в сообщении #787767 писал(а):

Ну просто скобочки то раскройте.

Да я собственно так и сделал и получил (тут я переобозначил, чтобы лучше воспринималось.):
$ {(x-a)^TA^{-1}(x-a)+(x-b)^TB^{-1}(x-b)} = (x-c)^TС(x-c) + a^TA^{-1}a + b^TB^{-1}b-c^TC^{-1}c$

$C^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

$c=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}(A^{-1}a+B^{-1}b)$

Проблема только в том, что когда я подставил это в интеграл (а мне надо посчитать от этого интеграл) у меня ничего хорошего не получилось. Вот я подумал может есть какая то другая "хорошая замена", что бы $a^TA^{-1}a + b^TB^{-1}b-c^TC^{-1}$ не вылезала.

-- Вт ноя 12, 2013 10:28:23 --

R_e_n в сообщении #787733 писал(а):

В частном случае случае одномерных матриц Вы же не ожидаете, что получится

$\frac1k(x-a)^2+\frac1h(x-b)^2=\frac{1}{k+h}(x-b+a)^2$ ?

Я так предположил, со слов "матрица суммы равна сумме матриц".


Интеграл, который нужно посчитать:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-({(x-a)^TA^{-1}(x-a)+(x-b)^TB^{-1}(x-b)})}dx $

По началу я так и просил помочь посчитать интеграл, но решил что если найдется "хорошая замена",
то я и сам посчитаю интеграл.

[bot]

R_e_n в сообщении #788001 писал(а):

матрица суммы равна сумме матриц

Полная фраза: Матрица суммы квадратичных форм от одних и тех же переменных равна сумме матриц этих квадратичных форм. У Вас же не квадратичные формы, а то что называют квадриками, то есть квадратичные формы + линейная часть+константа.

Квадрика от одной переменной - это просто квадратный трёхлен и их сумма тоже. Сумма двух квадратных трёхленов имеющих разные корни есть квадратный трёхлен, не обязанный иметь корень. Тем более, если пытаться обобщать на квадрики. Как мне кажется именно об эту стену Вы напрасно бьётесь.

Странный у Вас интеграл. Если $x$ переменная, то какие ещё квадратичные формы? Или у Вас многомерный интеграл? Типа
$\int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\infty f(x_1, \ldots x_n)dx_1\ldots dx_n$, где $f$ функция от некоторой квадрики.

PS. Вот так переебозначили $A=K, B=H$ - это называется сменить шило на мыло. Я предлагал убрать архитектурное излишество - обращение матриц.

[R_e_n]

bot в сообщении #788108 писал(а):

R_e_n в сообщении #788001 писал(а):

матрица суммы равна сумме матриц

Полная фраза: Матрица суммы квадратичных форм от одних и тех же переменных равна сумме матриц этих квадратичных форм. У Вас же не квадратичные формы, а то что называют квадриками, то есть квадратичные формы + линейная часть+константа.

Квадрика от одной переменной - это просто квадратный трёхлен и их сумма тоже. Сумма двух квадратных трёхленов имеющих разные корни есть квадратный трёхлен, не обязанный иметь корень. Тем более, если пытаться обобщать на квадрики. Как мне кажется именно об эту стену Вы напрасно бьётесь.

Странный у Вас интеграл. Если $x$ переменная, то какие ещё квадратичные формы? Или у Вас многомерный интеграл? Типа
$\int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\infty f(x_1, \ldots x_n)dx_1\ldots dx_n$, где $f$ функция от некоторой квадрики.

PS. Вот так переебозначили $A=K, B=H$ - это называется сменить шило на мыло. Я предлагал убрать архитектурное излишество - обращение матриц.

Да, спасибо, я решил оставить так как есть

[bot]

R_e_n в сообщении #788109 писал(а):

решил оставить так как есть

Ну есть так есть, только я не понял, как оно есть.

[R_e_n]

bot в сообщении #788176 писал(а):

R_e_n в сообщении #788109 писал(а):

решил оставить так как есть

Ну есть так есть, только я не понял, как оно есть.

Это вот так:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-({(x-a)^TA^{-1}(x-a)+(x-b)^TB^{-1}(x-b)})}dx =$

$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-c)^TС(x-c) + a^TA^{-1}a + b^TB^{-1}b-c^TC^{-1}c}dx $

$C^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

$c=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}(A^{-1}a+B^{-1}b)$

bot в сообщении #788108 писал(а):

Странный у Вас интеграл. Если $x$ переменная, то какие ещё квадратичные формы? Или у Вас многомерный интеграл? Типа
$\int\limits_{-\infty}^\infty \ldots \int\limits_{-\infty}^\infty f(x_1, \ldots x_n)dx_1\ldots dx_n$, где $f$

PS. Вот так переебозначили $A=K, B=H$ - это называется сменить шило на мыло. Я предлагал убрать архитектурное излишество - обращение матриц.

Да, многомерный. А переобозначение, я оставил, потому что там замена получается сложной:

$C^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

$c=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}(A^{-1}a+B^{-1}b)$

И ее бы как нибудь упростить, ну в общем чтобы лишний раз не запутаться, при выписывании ответа.

[bot]

Ну, то есть, Вы хотите сумму двух квадратичных форм, сдвинутых в разные точки, представить в виде одной сдвинутой в некоторую точку квадратичной формы?
Это не удастся сделать даже в одномерном случае.
Возьмите $x^2+(x-1)^2$ и попробуйте найти $a, c$, чтобы было тождество $x^2+(x-1)^2=a(x-c)^2$. Левая часть ни разу не ноль, а правая случается.