Интеграл.Предел.

[songbird]

Всем добрый вечер.Такой вопрос:(В нем немного физики, но основа вопроса в математике полагаю):
Для вычисления работы поля центральных сил при перемещении частицы из точки $1$ по определенной траектории в точку $2$ разбивают траекторию на малые участки и суммируют с каждого участка $\delta A$(элементарную работу).

Зная, что она выражается, как $\delta A=\overrightarrow{F}\overrightarrow{ds}=F(r)ds_F=F(r)dr$.
($ds_F$ с точностью до бесконечно малой высшего порядка равна $dr$).
Дальше же ведь можно написать , что $dr=\Delta r$, так как r - независимая переменная.
Переходим к пределу на всем участке:
$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nF(r_i)\Delta r_i=\int_{r_1}^{r_2}F(r)dr$,где $\lambda$-максимальный из множества $\{\Delta r_i\}$ разбиений.
Дальше в учебниках по физике заключают, что работа из точки $1$ в точку $2$ не зависит от траектории.
Но вот вопрос - мы ведь взяли траекторию, где в $\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nF(r_i)\Delta r_i$ ни один из $r_i$ не равен "другому" $r_i$.То есть , к примеру, $r_5{\ne}r_{45}$. И отсюда мы спокойно смогли перейти от предела к интегралу.(Ведь в математике интеграл определяется как $\int_{a}^bF(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$, ну то есть ни один $\xi_i$ не равен другому $\xi_i$ то есть ,к примеру, $\xi_7\ne\xi_{67}$. Но что делать, если в нашей траектории от $1$ до $2$ все таки встречаются одинаковые $r_i$ при суммировании и дальнейшему переходу к пределу.Как тогда тут так же доказать, что работа на такой траектории все тот же $\int_{r_1}^{r_2}F(r)dr$? Прям запутался с этим, прошу помощи.

[provincialka]

А не надо считать $r$ независимой переменной. Представьте себе, что траектория - окружность, тогда $r$ вообще константа. На самом деле ваша линия имеет какую-то параметризацию, например, все зависит от времени $t$. Или от пройденного пути $s$. Этот параметр пробегает некоторый отрезок, на котором и строится интеграл.

[songbird]

А как же тогда доказать через новую независимую переменную времени $t$ или пути $s$, что работа из точки $1$ в $2$ в поле центральных сил по любой траектории равна 0?

[provincialka]

А чем вам мешает новая переменная? Уравнение пути (годограф) есть $\overrightarrow{r}(t)$, его модуль $r(t)$.

Вообще-то работу силы лучше рассматривать как криволинейный интеграл второго рода. Тогда $\overrightarrow{r}(t)$ и $\overrightarrow{dr}(t)$ будут векторами и будут зависеть от параметра. В этом тексте его просто сводят к интегралу 1 рода.

[Otta]

songbird
У Вас там в книжечке буковки наверняка через раз жирненькие были, обращайте на это внимание.
Работа вдоль пути $\Gamma$ равна интегралу второго рода
$ \int_\Gamma F(\mathbf r)\; d\mathbf r$, где $\mathbf r$ - радиус-вектор текущей точки кривой, он же $\vec r(t)$.

[provincialka]

Otta, нет, не обязательно. ТС уже обсуждал здесь некоторые вопросы по этой картинке. Тут ведь частный случай, центральное поле.
Если $\overrightarrow{F}(r)=f(r)\overrightarrow{r}$, то $\overrightarrow{F}(r)\overrightarrow{dr}=f(r)\overrightarrow{r}\overrightarrow{dr}=f(r)rdr$, потому что $\overrightarrow{r}^2=r^2$. Теперь, замечая, что $f(r)r=F(r)$ получаем, что $\overrightarrow{F}(r)\overrightarrow{dr}=F(r)dr$

[Otta]

provincialka в сообщении #786187 писал(а):

Otta, нет, не обязательно.

Да, верно, я уж вижу, что картинка не соответствует моей интерпретации.
Мне осталось одно интересно - авторы хотели как можно более усложнить себе жизнь?

[provincialka]

Наверное, хотели объяснить все "физически" не вводя понятие криволинейного интеграла. У меня в студенческие годы был похожий случай: механику нам читали на 2 курсе, используя тензорное исчисление. А сами тензоры - на третьем (после специализвации). Боже, как я мучалась с этой механикой, ничего не понимала. Вы же представляете, в каком виде эти тензоры преподносились.

[Otta]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #786191 писал(а):

Наверное, хотели объяснить все "физически" не вводя понятие криволинейного интеграла.

Ну не знаю. Физикам очень быстро вводят криволинейный интеграл. Часто тяп-ляп, но чтобы был.

[ewert]

songbird в сообщении #786154 писал(а):

Но что делать, если в нашей траектории от $1$ до $2$ все таки встречаются одинаковые $r_i$ при суммировании и дальнейшему переходу к пределу.Как тогда тут так же доказать,

Во-первых, на физическом уровне строгости подобные нюансы принято не доказывать, а принимать за очевидно несущественные. Во-вторых, это рассуждение неявно предполагает, что на данном участке расстояние до центра меняется монотонно (что и отражено на рисунке), и что в общем случае выйдет так же, поскольку траекторию можно разбить на монотонные участки. А потом, в курсе математики (который здесь с неизбежностью отстаёт от физики) всё это обосновывается более-менее строго.

Более-менее, т.к. и в математических курсах подобного рода лакун хватает. Скажем, при доказательстве формулы Грина понятие области, охватываемой контуром, обычно принимается за самоочевидное, хотя в общем случае это далеко не так. При введении кратного интеграла по Риману никто обычно не заморачивается вопросом о том, на какие в точности куски имеет право разбиваться область и что в точности означает понятие "площадь" (или объём). И т.д.

[provincialka]

(Оффтоп)

что, физикам и меру Жордана не вводят?

[ewert]

provincialka в сообщении #786242 писал(а):

что, физикам и меру Жордана не вводят?

Насколько я помню, нет. Т.е., может, и упоминают и обрисовывают в общих чертах, как это в принципе можно было бы ввести, но времени на её формальное обоснование не тратят, там ведь достаточно долгая история. ИнженерАм -- точно не вводят.

Если вернуться к интегралу Римана. Ведь всё, что нужно для его формального определения -- это знать, что меру можно ввести строго на некоторой алгебре, и что все привычные нам области в эту алгебру входят. А раз можно -- какая разница, как эта возможность реализуется? Для самой конструкции интеграла Римана эти нюансы значения не имеют.

[torn]

songbird в сообщении #786175 писал(а):

А как же тогда доказать через новую независимую переменную времени $t$ или пути $s$, что работа из точки $1$ в $2$ в поле центральных сил по любой траектории равна 0?

Никак, она не равна 0.

[Otta]

torn в сообщении #786515 писал(а):

Никак, она не равна 0.

ТС, видимо, замкнутый контур имел в виду.

[songbird]

torn в сообщении #786515 писал(а):

songbird в сообщении #786175 писал(а):

А как же тогда доказать через новую независимую переменную времени $t$ или пути $s$, что работа из точки $1$ в $2$ в поле центральных сил по любой траектории равна 0?

Никак, она не равна 0.

Да, извиняюсь, не равна нулю, а то, что значение работы не зависит от вида траектории.