Найти предел

[morfey]

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}|\frac{(-1)^{k-1}k}{n}|$$

Это две прогрессии, четные отрицательные и нечетные положительные числа. Нашел сумму и первых и вторых. Но ничего не получилось.

[gris]

А там модуль стоит? Зачем тогда $(-1)^{k-1}$?
Впрочем, что так, что эдак прогрессия (-ии) есть и формула для суммы есть. Должно получиться. Покажите суммы.

[morfey]

$\frac{4n-8n^2}{2}$ - для четных отрицательных. и $\frac{8n^2-8n+1}{2}$ для нечетных положительных. Разность дает 2 в пределе. Надо 1/2.

[provincialka]

А у вас $n$ одно и то же во всех формулах?

[morfey]

Не уверен, что понял вопрос. Для первой формулы (отрицательные четные): k=2n, для второй k=2n-1

[Cash]

Вы неправильно сумму посчитали. Разбейте лучше на пары чет-нечет $(1-2)+(3-4) + \ldots$ Так гораздо проще.

[provincialka]

Разберите случаи $n=2m$ и $n=2m+1$.
В первом можно посчитать числитель так: $(-1+2)+(-3+4)+...+(-(2m-1)+2m)=m$.

-- 06.11.2013, 14:40 --

morfey в сообщении #785605 писал(а):

Не уверен, что понял вопрос. Для первой формулы (отрицательные четные): k=2n, для второй k=2n-1

вот и получается путаница в обозначениях. $k$ - индекс суммирования. А если $k$ - число слагаемых, то на него и надо делить.

[morfey]

$(-1+2)$ или $(1-2)$?

[provincialka]

morfey в сообщении #785629 писал(а):

$(-1+2)$ или $(1-2)$?

Второй способ, так как степень $k-1$, а я не посмотрела, думала, что $k$. Впрочем, вся сумма (не слагаемые!) должна быть взята по модулю, иначе предел не будет существовать.

[morfey]

Все равно не уверен что уловил ход рассуждений. Для n=2m имеем $\sum_{k=1}^{2m} 1-2+3-4+5-6+...-2m$ Далее?

[provincialka]

Далее - сложить. Сначала по два. Ведь сумма конечного числа слагаемых не зависит от порядка суммирования.

(Оффтоп)

Я ведь вам уже нашла эту сумму, только с противоположными знаками?

[morfey]

Я дико извиняюсь за тугодумие, но можете развернуть смысл сложения по парам? Первый член прогрессии это скобка или первый элемент первой скобки?...

(Оффтоп)

А за ссылку на учебник где разъяснено что то похожее буду отдельно благодарен. Или на тему в учебнике.

Сумма $(-(2m-1)+2m)$ равна 1. Это и есть наше $m$?

[provincialka]

Я же вам уже писала сумму для четного $n$:

provincialka в сообщении #785609 писал(а):

Разберите случаи $n=2m$ и $n=2m+1$.
В первом можно посчитать числитель так: $(-1+2)+(-3+4)+...+(-(2m-1)+2m)=m$.

Вам надо только знаки поменять.
А для нахождения суммы при $n=2m+1$ добавить к полученному еще $2m+1$.

Ну, попробуйте при небольших $n$, что ли.

[morfey]

1. Все сообразил когда численно сделал ). Пасибо)