Написать уравнение плоскости

[Dellghin]

Здравствуйте! Дан куб $ABCDA'B'C'D'$ с координатами: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1,1,1), D'(0,1,1)$. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки $P, Q$ и $H$, где $P$ - центр грани $ABB'A'$, $Q$ делит $\overline{BC'}$ в отношении $\frac{1}{3}$ и $H$ расположена на ребре $BB'$ так, что длина вектора $\overline{PH} + \overline{HQ}$ минимальна.
Точки $P$ и $Q$ я нашёл:
$P(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$

$Q(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.
Как найти точку H? Когда длина этого вектора будет минимальна? Подскажите, пожалуйста.

[provincialka]

Длина вектора или сумма длин? Вектор $\overline{PH} + \overline{HQ} =\overline{PQ}$
Наверное, все же, имеется в виду сумма длин.
Видимо, $H$ лежит на срединном перпендикуляре к $PQ$, в данном случае это плоскость. То есть $H$ равноудалена от $P$ и $Q$. Только это надо проверить (доказать).

[Dellghin]

Составил уравнение равенства длин $|\overline{PH}| = |\overline{HQ}|$.
После преобразований получилось уравнение $x+2y-\frac{1}{3}z-\frac{13}{18}=0$.
Потом вспомнил, что H лежит на ребре, а значит x=1 и y=0. z получилось $\frac{5}{6}$.
Составил уравнение плоскости по трём точкам, в итоге получилось $4x-9y-6z+1=0$, что не сходится с ответом ($x+y+3z-2=0$). Я что-то делаю не правильно или где-то ошибка в арифметике?

[provincialka]

Ни точка $Q$, полученная вами, не лежит на этой плоскости.

-- 04.11.2013, 15:34 --

Dellghin в сообщении #784533 писал(а):

$Q$ делит $\overline{BC'}$ в отношении $\frac{1}{3}$

Не понятная формулировка. Может, имелось в виду $1:3$? Тогда трети в координатах надо заменить на четверти.

[Dellghin]

Извините за невнимательность, $Q(\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$, $H(1,0,\frac{5}{8})$, если я опять где-нибудь не ошибся. Но всё равно полученное уравнение $2x-7y-8z+3$ не сходится с ответом.

[provincialka]

Ничего себе! У вас точка $Q$ вообще в куб не попадает!

[forexx]

-- 05.11.2013, 23:11 --

provincialka , с чего вы взяли, что

$$PH=QH$$

[provincialka]

Нет, я не уверена, просто предположила. Некогда было думать над этим. Поэтому и предложила:

provincialka в сообщении #784536 писал(а):

Только это надо проверить (доказать).

[forexx]

Dellghin, воспользуйтесь формулами деления отрезка в данном отношении (эти отношения пока вам неизвестны) .Выберите два (пока)
неизвестных параметра.Запишите систему двух уравнений (относительно неизвестных параметров), используя свойство скалярного умножения перпендикулярных векторов.Решив систему, найдете значение параметров и тем самым найдете координаты точки

$$H$$

.

[provincialka]

У меня была и другая идея. Что точка $H$ лежит на плоскости, проходящей через $PQ$ перпендикулярно ребру $BB'$. Это можно доказать, например, аналитически.
Будем рассуждать в общем виде. Пусть нам даны две точки $P,Q$ и прямая, скрещивающаяся с прямой $PQ$. Повернем систему координат так, что точки $P,Q$ лежат на оси $Ox$ а прямая перпендикулярна плоскости $Oxy$. Тогда можно считать, что их координаты $P(c,0,0); Q(-c,0,0)$ а прямая имеет уравнения $x=a, y=b$. Тогда искомая сумма расстояний равна $\sqrt{(a-c)^2+b^2+z^2}+\sqrt{(a+c)^2+b^2+z^2}$. Дифференцируя, получаем, что производная обращается в 0 только при $z=0$.
Может, это можно доказать строго геометрически.

[forexx]

Через $PQ$ нельзя провести плоскость перепендикулярно $BB1$ , если только $PQ$ не параллельно плоскости $XOY$

[provincialka]

Да, я уже заметила, но тут у меня $dxdy$ завис. Конечно, нужно провести общий перпендикуляр к этим двум скрещивающимся прямым.

[forexx]

provincialka в сообщении #785414 писал(а):

Да, я уже заметила, но тут у меня $dxdy$ завис. Конечно, нужно провести общий перпендикуляр к этим двум скрещивающимся прямым.

Это уже другое дело .И проще всего это сделать как я предложил ранее т.к. нужно узнать координаты точки $H$.

[forexx]

Оказывается, предложенное мною решение неверное - подвела интуиция. $\min PH+QH$ ,будет если $H=(1;0;1/3)$ , а не $H=(1;0;3/10)$

$\min PH+QH$ нужно найти при исследовании на экстремум.
P.S. При $H=(1;0;1/3)$ уравнение плоскости как раз то, что в ответе ТС $x+y+3z-2=0$

[provincialka]

Ну и задачка! Сколько народу зубы обломало! Только ТС не волнуется, наверное, уже сдал. Но оптимизация там ... Бррр.