Теория чисел...

[MestnyBomzh]

Доброе утро,форумчане!Помогите с такой задаче:Докажите,что последовательность ${x_n}=17n^2+1$ содержит бесконечно много квадратов целых чисел. Я начал делать так: Пусть $17n^2+1=k^2$ тогда $n=\sqrt{\frac{(k-1)(k+1)}{17}}$ Дальше очевидно,что одно из чисел $k-1$, $k+1$ должно делиться на $17$,была идея ввести арифметическую прогрессию $16+17z$ или $18+17k$ но ничего это не принесло. Подскажите как решать..

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #783924 писал(а):

Пусть $17n^2+1=k^2$

Для начала попробуйте найти хотя бы одну пару натуральных чисел $(n,k)$, удовлетворяющих этому равенству.

[ИСН]

Уравнение Пелля же, нет?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #783935 писал(а):

Уравнение Пелля же, нет?

Разумеется. Интересно, можно ли самому догадаться, как размножать решения? Понятно, что в книжках написано как. А вдруг ТС сам сообразит?

[MestnyBomzh]

Да,спасибо,почитал про уравнение Пелля! Получилось,что из пары $x,y$ можно составить бесконечно много решений данного уравнения. В данном случае $x=33,y=8$,а последующие решения получаем таким образом: $x^2+17y^2,4x^2y^2$

[Cash]

Сомнительные у Вас последующие решения получаются.
$8^2+17 \cdot 33^2=18557$
но
$17 \cdot 18557^2 +1 =76594.93...$ - не целое.
Странно, где это вы смотрели?

[MestnyBomzh]

Нет,нет...$k^2-17n^2=1$ и при $k=33,n=8$ будут решения. Последующие же решения получаются из $k^2+17n^2,2nk$ Просто я случайно буквы поменял на x,y

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #784067 писал(а):

Последующие же решения получаются из $k^2+17n^2,4n^2k^2$

Нет, не получаются. Будьте внимательны.

[MestnyBomzh]

nnosipov в сообщении #784071 писал(а):

MestnyBomzh в сообщении #784067 писал(а):

Последующие же решения получаются из $k^2+17n^2,4n^2k^2$

Нет, не получаются. Будьте внимательны.

Благодарю!Исправил.