неподвижная точка

[Oleg Zubelevich]

$X$ -- рефлексивное банахово пространство. Отображение $f:X\to X$ обладает следующим свойством.

Для любого $\xi\in X'$ найдется такой элемент $\eta\in X'$ и такое число $h$ , что неравенство

$$|(\xi,x-f(x))|\le |(\eta,x)+h|-|(\eta,f(x))+h|$$

верно при любом $x\in X$.
Доказать, что отображение $f$ имеет неподвижную точку.

[sup]

А что если положить $x = 0$. Тогда
$|(\xi,f(0))| \le -|(\eta,f(0))| \le 0$
Или у меня какие-то галлюционации?

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #783927 писал(а):

А что если положить $x = 0$. Тогда
$|(\xi,f(0))| \le -|(\eta,f(0))| \le 0$
Или у меня какие-то галлюционации?

нет, Вы все верно написали. Я поправил условие, см выше

[sup]

Да, любопытно, даже непрерывности не надо. Но, похоже, класс таких отображений весьма узок. Ну в самом деле

$$|(\xi,x-f(x))|\le |(\eta,x)+h|-|(\eta,f(x))+h| \le| (\eta,x-f(x))|$$

Поэтому, если множество элементов, представимых в виде $x-f(x)$ достаточно "богато", то ядро $\xi$ совпадает с ядром $\eta$, а значит $\eta = a\xi$.
Значит
$f(x) = x^* + \lambda (x)(x - x^*)$,
где $x^*$ - неподвижная точка. Найти ее можно с помощью леммы Цорна, организовав систему вложенных замкнутых, ограниченных, выпуклых множеств, инвариантных относительно $f$.