Экстремум функции нескольких переменных в области

[Rostislav1]

Добрый вечер, помогите пожалуйста разобраться в этом вопросе.
Найти наибольшие и наименьшие значения функции $\[z = {x^2} + {y^3} - 12x + 16y\]$ в области $\[{x^2} + {y^2} < = 25\]$
Правильно ли я понимаю, что сначала нам нужно найти экстремумы функции $\[z\]$, а потом находить условные экстремумы с условием $\[{x^2} + {y^2} = 25\]$через функцию Лагранжа?, если так, то как находить условные экстремумы, когда область задана несколькими уравнениями?

[mihailm]

Да не, не надо через Лагранжа, это станд задача.
Все как обычно находите критические точки смотрите где они лежат.
Потом, отдельно смотрите на функцию на границе, параметризуйте ее только

[Rostislav1]

Цитата:

Потом, отдельно смотрите на функцию на границе, параметризуйте ее только

Нельзя ли по подробнее про это?

[mihailm]

Скажите какой у вас учебник

[Rostislav1]

Уваренков, Маллер.

[мат-ламер]

mihailm в сообщении #781440 писал(а):

Да не, не надо через Лагранжа, это станд задача.

Ну, можно и Лагранжем.

-- Пн окт 28, 2013 22:15:15 --

Rostislav1 в сообщении #781432 писал(а):

если так, то как находить условные экстремумы, когда область задана несколькими уравнениями?

Это вопрос имеет отношение к данной задаче? Если нет, то лучше почитать учебник. Принципиально нового ничего не возникает. Всё учитывается в функции Лагранжа.

[Rostislav1]

Цитата:

Это вопрос имеет отношение к данной задаче?

Мне не нужно конкретно это задачу решить. Это просто пример из сборника задач. Нужно просто научиться решать такого типа задачи

[mihailm]

Rostislav1 в сообщении #781443 писал(а):

Цитата:

Потом, отдельно смотрите на функцию на границе, параметризуйте ее только

Нельзя ли по подробнее про это?

(Оффтоп)

Уваренко у меня отсутствует)

Надо как-то описать точки этой границы, например на параболе $y=x^2$ лежат точки $(x,x^2)$

[Евгений Машеров]

В общем случае есть смысл начать с поиска экстремумов для задачи без ограничений и, найдя, проверить, не лежат ли они уже в заданной области. Если лежат - задача решена, если не лежат - вводим ограничения. Причём ясно, что в задаче с ограничениями экстремумы на границе. И Лагранж.
Но в данном частном случае первый этап излишен. У нас есть слагаемое $y^3$, и понятно, что у нас при стремлении y к бесконечности функция стремится к бесконечности, аналогично для минус бесконечности. Можно сразу к Лагранжу.
Или даже без него, выразив x через y соответственно ограничению, но получится сложнее.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #782063 писал(а):

Причём ясно, что в задаче с ограничениями экстремумы на границе.

Не факт.

Евгений Машеров в сообщении #782063 писал(а):

Но в данном частном случае первый этап излишен. У нас есть слагаемое $y^3$, и понятно, что у нас при стремлении y к бесконечности функция стремится к бесконечности, аналогично для минус бесконечности.

Ну и что? Пусть себе стремится.

[bot]

ewert в сообщении #782066 писал(а):

Не факт

Функция в области монотонна по каждой переменной,

Евгений Машеров в сообщении #782063 писал(а):

при стремлении y к бесконечности

Область ограничена.

[Евгений Машеров]

Стремление к бесконечности - относится к предварительному исследованию задачи без ограничений.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #782081 писал(а):

Стремление к бесконечности - относится к предварительному исследованию задачи без ограничений.

Неправильная логика. Поскольку в конце концов задача всё-таки с ограничениями -- пытаться думать на предварительном этапе о глобальном максимуме бессмысленно. Бессмысленно думать даже о локальных именно экстремумах, интересоваться нужно лишь просто стационарными точками.