Моделирование случайных величин методом обратной функции

[Dimqa]

Здравствуйте уважаемые форумчане. Собственно потребовалось промоделировать случ. величину.
Столкнулся с такой проблемой: совершенно не помню как искать обратную функцию у экспоненциальных функций.
например
$y=1-exp(-b(x-a))$
Теоретически то понятно, что решить относительно Х, при этом обратная ф-ия экспоненты - линейный логарифм. Вот только как потом "вытащить" х, и как вообще выразить сложную функцию. Если нетрудно дайте совет как это делается на другом примере, хотелось бы разобраться.

[Александрович]

Dimqa в сообщении #781778 писал(а):

Вот только как потом "вытащить" х,

Через случайную равномерно-распределённую на $[0;1]$ величину $y$.

[arseniiv]

Dimqa в сообщении #781778 писал(а):

Вот только как потом "вытащить" х

Так вы не сидите, преобразовывайте! Сначала оставьте справа только экспоненту, потом освободитесь от неё. Выпишите всё сюда до того места, на котором останавливаетесь.

[Dimqa]

arseniiv в сообщении #781785 писал(а):

Dimqa в сообщении #781778 писал(а):

Вот только как потом "вытащить" х

Так вы не сидите, преобразовывайте! Сначала оставьте справа только экспоненту, потом освободитесь от неё. Выпишите всё сюда до того места, на котором останавливаетесь.

Так:
$y=1-\exp(-b(x-a))$
$\exp(-bx+ba)=1-y$
$-bx+ba=\ln(1-y)$
$x=(ab-\ln(1-y))/b$
Обр.ф-ию я нашел. Как промоделировать пока не соображу.

-- 29.10.2013, 17:07 --

$X=\sum\limits_{i=1}^n x_i \ -6$
n=12
Это мое распределение на интервале от [0,1)

[arseniiv]

Dimqa в сообщении #781793 писал(а):

Обр.ф-ию я нашел. Как промоделировать пока не соображу.

Теперь представьте себе, что $y$ — случайная величина, равномерно распределённая на $[0;1]$. Тогда $x$ — случайная величина, которую вы искали.

Dimqa в сообщении #781793 писал(а):

$X=\sum\limits_{i=1}^n x_i \ -6$
n=12
Это мое распределение на интервале от [0,1)

А как это склеивается с предыдущим?

[Dimqa]

arseniiv
Вас понял. Возможно я путаю, но "В соответствии с центральной предельной теоремой СВ Х, сформированная как сумма равномерно распределенных на интервале [0;1]
независимых СВ определяется соотношением:" которое я написал выше. Т.е грубо говоря из 12 элементов я получаю 1 равномерно распределенный. Вроде бы так?

[provincialka]

Нет, не получаете. И теорема не о том.

[Dimqa]

Цитата из методички. Правда я не дописал, что качество формируемых величин достигается при n=12 из за этого и используется соответствующая формула.

[provincialka]

Dimqa в сообщении #781835 писал(а):

качество формируемых величин достигается при n=12

Чего? Какое качество?

[arseniiv]

Dimqa
Ага, вот оно что. Последняя формула может быть связана с нормальным распределением, но для его моделирования есть метод получше — преобразование Бокса—Мюллера.

Однако у вас величина не нормально распределённая. У вас же есть формула для её моделирования, зачем вам другой метод моделирования другого распределения?

-- Вт окт 29, 2013 20:00:45 --

provincialka в сообщении #781837 писал(а):

Чего? Какое качество?

Качество моделирования нормального распределения, скорее всего. Хотя я упорно не понимаю, зачем так извращаться, когда логарифм и косинус-синус на большинстве процессоров дёшево вычисляются. Видимо, инерция составителя методички (хотя нам тоже такое преподавали, а преобразование Б.—М. было молчаливо опущено ).

[Dimqa]

arseniiv
Я таким методом пытаюсь получить случайную величину равномерно распределенную на [0,1]. Подставлю ее заместо y в обратную функцию и получу случайную величину Х.

[arseniiv]

Равномерно распределённая случайная величина моделируется обычно уже готовыми средствами, во многих языках программирования есть функция или подобное, называющаееся примерно random, моделирующее случайную величину, равномерно распределённую на $[0;1]$.

А цитата из методички про нормально распределённую величину. Если там написано, что она для моделирования равномерно распределённой, то какие, интересно знать, величины там складываются?

[Dimqa]

Все понял. Спасибо вам большое за помощь.

[Евгений Машеров]

На входе в методе обратной функции равномерно распределённая (0,1) величина. А суммируя 12 равномерных, получаем приблизительно нормальную.