Доказать сущ. обратн. элемента

[DSC]

A - коммутативное кольцо
Нужно доказать что в коммутативном кольце $\forall a \in A$ существует $(-a) \in A$
Думаю нужно как-то связать с аксиомой $a+(-a)=0$, но не знаю как

[arseniiv]

Существование обратного по сложению элемента в кольце — это, действительно, одна из аксиом кольца.

[Xaositect]

Иногда в качестве аксиомы берут возможность вычитания.

DSC, какое у Вас было определение кольца?

[DSC]

Вот такое: Множество наз. коммутативным кольцом, если на нем определены 2 операции $+$ и $\cdot$ которые удовлетворяются аксиомам...(и список аксиом)

[Xaositect]

DSC в сообщении #781330 писал(а):

и список аксиом

И вот именно он нам и интересен, потому что иногда то, что Вам требуется доказать, считается аксиомой, а иногда что-то эквивалентное. Поэтому для решения надо знать точно, какие конкретно аксиомы были у Вас в курсе.

[DSC]

Ладно
$\forall a,b,c \in A$
==Для сложения==
$a+b=b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
Существует $0$, 1+0=a
Существует $(-a); a+(-a)=0$
==Для умножения==
$ab=ba$
$a(bc)=(ab)c$
Существует $1\in A \not = {0}; 1a=a$
==И для обоих==
$(a+b)c=ac+bc$

[Xaositect]

Так.
А в чем разница между четвертой в этом списке аксиомой и тем, что нужно доказать в задаче? Если разницы нет, то можно сослаться на аксиому и все доказано.

[DSC]

Спасибо

[provincialka]

А задание формулировалось именно так? То есть известно, что $A$ - кольцо и ищется $-a$? Очень странно. Может, было как-то по-другому:

1. Не известно, кольцо ли $A$ и требуется проверить выполнение аксиом.
2. Не написано $-a$, а сказано словами про обратный элемент. Лично я привыкла $-a$ называть противоположным элементом, а обратным - $a^{-1}$. Может, именно его существование надо доказать? Только $A$ должно быть конкретным кольцом.