Линейная реккурента

[Null]

Пусть есть последовательность $a_k$ ($k\in\mathbb{N}$), такая что она удовлетворяет условию $a_{k+n}=C_{n-1}a_{k+n-1}+C_{n-2}a_{k+n-2}+\dots+C_1 a_{k+1}+C_0 a_k$ для любого натурального $k$. Предположим $a_k\to 0$ при $k\to \infty$.
Докажите что ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ сходиться.

(Оффтоп)

Нужно доказать что $a_k$ убывает быстрее геометрической прогрессии с $q<1$

Исправил.

[iifat]

С чего ж вдруг быстрее? Ровно со скоростью геометрической прогрессии и убывает.

[ewert]

Null в сообщении #779941 писал(а):

$a_{k+n}=C_{k-1}a_{k+n-1}+C_{k-2}a_{k+n-2}+\dots+C_1 a_{k+1}+C_0 a_k$ для любого натурального $k$.

Что-то какой-то непорядок с индексацией. Если же исправить до разностного уравнения, то решение: "тривиально".

iifat в сообщении #779979 писал(а):

Ровно со скоростью геометрической прогрессии и убывает.

Совсем не факт.

[iifat]

Почему не факт? Сумма слагаемых вида $P_m(n)q^n$

[ewert]

iifat в сообщении #780013 писал(а):

Сумма слагаемых вида $P_m(n)q^n$

Это уже не "со скоростью", а "быстрее". Не говоря уж о том, что там ещё и синусы возможны.

[iifat]

Почему ж быстрее? $\left(q(1-\varepsilon)\right)^n \le P_m(n)q^n \le \left(q(1+\varepsilon)\right)^n$ для сколь угодно малого $\varepsilon$ при достаточно больших $n$, нет?

ewert в сообщении #780020 писал(а):

Не говоря уж о том, что там ещё и синусы возможны

Ну, это если комплексные сопряжённые расписывать. Лишнее.

[Null]

А доказать что линейная комбинация к нулю стремится только если все $q<1$ не надо? В этом и задача.

(Оффтоп)

$ P_m(n)q^n $ не стремиться к 0 со скоростью $q$, а только быстрее любого $q+\varepsilon$

[ewert]

Null в сообщении #780319 писал(а):

А доказать что линейная комбинация к нулю стремится только если все $q<1$ не надо?

Не надо, это ловля блох.

[iifat]

ewert в сообщении #780343 писал(а):

Не надо, это ловля блох

Согласен. Впрочем, никто и не заявлял, что решил задачу Так, мелкие замечания.

Null в сообщении #780319 писал(а):

$ P_m(n)q^n $ не стремится к 0 со скоростью $q$, а только быстрее любого $q+\varepsilon$

Таки, опять же в порядке ловли блох, извините не понять, что именно полагают благородные доны под стремлением последовательности к нулю со скоростью геометрической прогрессии, при том, что оная последовательность не является геометрической прогрессией и какой-либо конкретный знаменатель не подразумевается. Я лично понимаю под этой фразой существование $q_1, q_2$, таких что, начиная с некоего $N$ $q_1^n\le a_n\le q_2^n$. Вы что-то другое, неравносильное?

[Null]

ewert в сообщении #780343 писал(а):

Не надо, это ловля блох.

Если не хотите решать зачем писать? Решение реккуренты знают все. Ну по крайней мере те кто могут решить эту задачу.

[ewert]

(Оффтоп)

Null в сообщении #780371 писал(а):

Если не хотите решать зачем писать?

А что решать-то? Да, все знают, что это прогрессии на многочлены. Теперь что -- доказывать, что они линейно независимы, что ли? Т.е. поскольку сам этот факт входит в теорию -- его надо ещё раз доказать, да?...

[Null]

Я могу привести пример линейно независимых последовательностей(например к многочленам добавить еще отрицательные степени) для которых утверждение задачи неверно.

[ewert]

(Оффтоп)

Ну попробуйте, приведите.

Что тут вообще обсуждать-то? Если человек не знает теории разностных уравнений, то для него эта задачка выглядит малоосмысленной (во всяком случае, не вижу разумных способов обойти эту теорию). Если же знает вид общего решения, то утверждение выглядит очевидным, с точностью до малоинтересных заклинаний.

[Null]

Приведите заклинания. Ну или ссылку на этот факт. Пример у меня уже приведен.

(Оффтоп)

Ваши рассуждения похожи на рассуждения ферматиков. Да это просто(для студента 1ого курса), но это не очевидно.

[ewert]

Собственно, что нужно доказать-то? Что если все $|q_k|=1$, то $\sum\limits_kP_k(n)q_k^n\to0$ только в том случае, когда все $P_k\equiv0$. Ну и выковыривайте старшие степени многочленов и т.д.; тоска зелёная.

-- Сб окт 26, 2013 15:28:04 --

(Оффтоп)

Null в сообщении #780401 писал(а):

Да это просто(для студента 1ого курса),

Студенты 1-го курса, вообще говоря, разностные уравнения не проходят. Им ещё не до этого.