Анализ-1. Определить наибольшую длинну выступа

[Foruev69]

Колоду карт кладут на край стола. Длина каждой пусть будет "a". Карты сдвигают относительно друг друга так, чтобы образовался выступ возможной наибольшей длины. Найти длину наибольшего выступа если в колоде $n$ карт.

Мой ход: Если первую карту сдвинули относительно стола на определенную длину, вторую, и так далее, то условие равновесия мне видится так (так сказано, потому что предполагаю что возможно нужну бы было учитывать моменты сил, но это же задача по анализу) :

$ ax_{1}+a\left( x_{1}+x_{2}\right) +\dots +a\left( x_{1}+x_{2}+\dots +_{n}\right) \leq a-ax_{1}+a-a\left( x_{1}+x_{2}\right) +\dots +a-a\left( x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right) $
откуда следует
$2a\left( nx_{1}+\left( n-1\right) x_{2}+\dots +2x_{n-1}+x_{n}\right) \leq na$
Где $x$ дроби, умноженные на длину дают сдвиг. Значит нужно найти наибольшее возможное значение суммы $x_1+x_2+...+x_n$, подскажите.

[Urnwestek]

(Оффтоп)

Это ж из Арнольда и Джона Дербишира задача!

Или я не понял, или у вас довольно странное условие. Пусть $n=2$ тогда, по вашим формулам (если сократить на $2a$) выходит $2x_1+x_2 \leq 1$ сдвину я вторую карту на 1 а первую на 0. Разве она не упадёт?

[Foruev69]

Urnwestek
Видимо тогда нужно чтобы все условия выполнялись в совокупности, начиная устанавливать их сначал для n и n-1 карты, т е имея ввиду, что
$x_{n}\leq \dfrac {1}{2}$

[Urnwestek]

Foruev69 в сообщении #776077 писал(а):

Появился:
01/06/13
Сообщения:
14
Urnwestek
Видимо тогда нужно чтобы все условия выполнялись в совокупности, начиная устанавливать их сначал для n и n-1 карты, т е имея ввиду, что
$x_{n}\leq \dfrac {1}{2}$

Ну это-то да. А теперь такие же оценки для $x_{n-1}$ и $x_{n-2}$ можете выписать?

[Foruev69]

Urnwestek
Вышло, что возможная наибольшая длина выступа для n карт будет выглядеть так
$1- \dfrac {1}{2^{n}}$
У вас так же ?

[Urnwestek]

Нет, у меня не так. Ну вот выпишите оценку на выступ для $x_{n-1}$. Это, можно сказать, самая важная часть этой задачи. Рассмотрите высунутую максимально, на $\frac{1}{2}$ карту под номером $n$ и ещё не высунутую карту под номером$n-1$ как одну "суперкарту". Какая у этой "суперкарты" будет длина? На сколько её можно высунуть?

[Foruev69]

Urnwestek
на 1/4, следующую на 1/8, согласно нер-вам

[Urnwestek]

Цитата:

Urnwestek
на 1/4, следующую на 1/8, согласно нер-вам

Расскажите, как вы их получали.
И вы не ответили на

Цитата:

Какая у этой "суперкарты" будет длина?

[Foruev69]

Urnwestek
Из нер-ва выше для n=3, учитывая что n-ую каруту высунули на максим. возможную(1/2) длину, а затем и n-1-ую на макс. возможную(1/4), следует, конечно же, что для n-2-ой карты эта длина будет 1/6(из неравенства). То что я писал выше это действительно ошибка.
Длина суперкарты для n=2 будет 3/2.
Выходит, что длина будет выглядеть как сумма вида 1/2n ?

[Urnwestek]

Foruev69 в сообщении #776207 писал(а):

Длина суперкарты для n=2 будет 3/2.

Да.

Цитата:

Из нер-ва выше для n=3, учитывая что n-ую каруту высунули на максим. возможную(1/2) длину, а затем и n-1-ую на макс. возможную(1/4), следует, конечно же, что для n-2-ой карты эта длина будет 1/6(из неравенства). То что я писал выше это действительно ошибка. Выходит, что длина будет выглядеть как сумма вида 1/2n ?

Да!!!

Поздравляю вас! (: В своё время факт, что этот ряд расходится меня настолько поразил, что я стал искать материалы по этому делу. Нашёл очень хорошую статью Джона Дербишира, из его книги "Простая одержимость" и видео где человек проверяет доказанное на практике. (:

[Foruev69]

Urnwestek
Спасибо