Среднее пропорциональное

[Pineapple]

Как доказать:

Цитата:

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

и что такое среднее пропорциональное?

[nnosipov]

Pineapple в сообщении #772545 писал(а):

и что такое среднее пропорциональное?

Это среднее геометрическое. Нужно доказать, что $BH=\sqrt{ab}$.

[Pineapple]

nnosipov
Я не знаю, что такое среднее геометрическое и хочу узнать, как доказывается то, что $BH=\sqrt{ab}$
$AB=\sqrt{a*AC}$
$BC=\sqrt{b*AC}$

[provincialka]

Так. Вы же спрашивали о смысле термина. А теперь уже хотите, чтобы за вас и задачу решили. Нет уж, давайте сами. А мы - поможем, если понадобится

[Pineapple]

provincialka
Я в начале спрашивал как доказать, но ладно попробую сам. Высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит это треугольник на два подобных прямоугольных треугольника и они подобны исходному. $AH/BH=BH/HC$, отсюда $BH^2=AH*HC$

-- 08.10.2013, 19:27 --

И все же объясните, что такое среднее геометрическое.

[gris]

Среднее геометрическое положительных чисел это экспонента от среднего арифметического их логарифмов.

[nnosipov]

Pineapple в сообщении #772574 писал(а):

И все же объясните, что такое среднее геометрическое.

Окей. Пусть $a_1$, ..., $a_n$ --- положительные числа. Их средним геометрическим называется число $\sqrt[n]{a_1\ldots a_n}$. Кстати, есть много разных "средних": арифметическое, гармоническое, квадратическое и т.д. Погуглите.

[Pineapple]

А доказал я правильно?

[nnosipov]

Pineapple в сообщении #772563 писал(а):

$AB=\sqrt{a*AC}$
$BC=\sqrt{b*AC}$

Это верно, но надо бы объяснить, откуда это следует. И как из этих формул вытекает равенство $BH=\sqrt{ab}$.

[Pineapple]

nnosipov
1) $BH=\sqrt{ab}$.

Высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит это треугольник на два подобных прямоугольных треугольника и они подобны исходному.

$\frac{AH}{BH}=\frac{BH}{HC}$;

${AH}=\frac{{BH}\cdot{BH}}{HC}$;

${AH}\cdot{HC}=BH^2$;

$\sqrt{{AH}\cdot{HC}}=BH$;


2) $BC=\sqrt{{AC}\cdot{HC}}$;

$\frac{BC}{AC}=\frac{HC}{BC}$;

${HC}=\frac{{BC}\cdot{BC}}{AC}$;

${AC}\cdot{HC}=BC^2$;

$\sqrt{{AC}\cdot{HC}}=BC$;


3) $AB=\sqrt{{AH}\cdot{AC}}$;

$\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AB}$;

${AH}=\frac{{AB}\cdot{AB}}{AC}$;

${AC}\cdot{AH}=AB^2$;

$\sqrt{{AC}\cdot{AH}}=BC$;

[nnosipov]

Pineapple в сообщении #772612 писал(а):

Высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника делит это треугольник на два подобных прямоугольных треугольника и они подобны исходному.

Да, это правильное наблюдение. Остальное --- дело техники. Ошибок у Вас не вижу.

[Pineapple]

Спасибо всем за помощь, самое сложное было не запутаться в записях.