Пределы

[bgm123]

Всем привет. Требуется помощь в вычисление 2 пределов с использованием первого замечательного предела. Вот они (пределы):
1. $\lim (2^{1/2} - 2\cos(x))/(\pi - 4x), x\to\pi/4$
2. $\lim (1 + \cos(5x)) / (1 - \cos(4x))$, x\to\pi
Трудности в основном возникают с преобразованиями.

[provincialka]

Для записи дроби в TeX используйте, например, конструкцию \frac{числитель}{знаменатель}. А то трудно читать.

Что Вы сами сделали для решения? Кстати, Вы поместили вопрос не в ту тему надо в "Помогите решить/разобраться"

[bgm123]

Про запись дробей запомню, спасибо. Если можно переместите тему в соответствующий раздел.

-- 03.10.2013, 10:12 --

Похожие примеры делал, но тут даже не понимаю как преобразовать пределы к первому замечательному.

[provincialka]

Переместить может модератор.
Если переменная не стремится к 0, можно сделать замену $x-a=t$, где $x\to a$.
А Вы знаете, как ведет себя функция $1-\cos x, x\to 0$?

[bgm123]

Да, вспомнил. Это из раздела бесконечно малых эквивалентных функций. Ведёт себя так: $x^{2}/2$

-- 03.10.2013, 10:46 --

Вот какие результаты я получил после замены $t = x - \pi$:
$\lim \frac {1 + \cos 5(t + \pi)}{1 - \cos 4(t + \pi)} = \lim \frac {1 + \cos 5(t + \pi)}{\frac {16(t + \pi)^{2}}{2}} = \lim \frac {1 + \cos 5(t + \pi)}{8(t + \pi)^{2}} = \frac{1}{8} \lim \frac {1} {t + \pi} \lim \frac {1 + \cos 5(t + \pi)}{t + \pi} = \frac {1}{8\pi} \lim \frac{1 + \cos 5(t + \pi)} {t + \pi} $
Как теперь числитель свести к синусу?

[provincialka]

Типичная ошибка! От того, что вы вместо $x$ написали $t+\pi$, пример не изменился. Замену на эквивалентные можно проводить, только если аргумент функции $\cos$ или $\sin$ стремится к 0. А $t+\pi$ к $0$ не стремится.
Надо применить свойства тригонометрических функций (формулы приведения).

[bgm123]

Верно подмечено). Так каким же путём всё-таки пойти?

-- 03.10.2013, 11:29 --

Какие формулы вы имеете ввиду? Для суммы и разности аргументов?

[provincialka]

Я же прямо сказала: формулы приведения. Можно, конечно, и суммы-разности, только это длинный путь. На случай, если человек забыл простые школьные формулы.

[bgm123]

Извиняюсь за невнимательность)

-- 03.10.2013, 12:30 --

Формулы приведения конечно штука - хорошая. Но открыл таблицу таких формул. Там перед ПИ нет никаких множителей. В моем случае это либо 4, либо 5. Что с ними можно сделать? Может быть есть какая-то тайна о которой я не знаю?

-- 03.10.2013, 12:34 --

Вот скажем есть такая функция: $\cos(5t + 5\pi)$ можно ли \то записать в виде: $\cos(5t +\pi)$

[provincialka]

bgm123 в сообщении #770210 писал(а):

Извиняюсь за невнимательность)

Формулы приведения конечно штука - хорошая. Но открыл таблицу таких формул. Там перед ПИ нет никаких множителей. В моем случае это либо 4, либо 5. Что с ними можно сделать? Может быть есть какая-то тайна о которой я не знаю?

Вот скажем есть такая функция: $\cos(5t + 5\pi)$ можно ли \то записать в виде: $\cos(5t +\pi)$

Ну, примените формулу несколько раз. Кстати, период у тригонометрических функций никто не отменял!

[bgm123]

С первым пример из темы справился. Думаю над вторым)

[_Ivana]

(Оффтоп)

Тема навеяла ассоциации с Пастернаком...

Мело, мело по всей земле
Во все пределы.
Свеча горела на столе,
Свеча горела.

[bgm123]

Вообщем честно говоря не получается сделать. Я его и так и сяк. К сожалению уже времени нет. Буду рад, если кто-нибудь решит этот пример. Ну или хотя бы сведёт к первому замечательному пределу)

[provincialka]

Нет, он очень простой. Не надо сводить непосредственно к замечательному пределу, мы же обсуждали разность $1-\cos x$.

[bgm123]

Ладно, подумаю ещё над ним. Вечером сообщу результат)

-- 03.10.2013, 14:11 --

Основная проблема с коэффициентами: числитель (5) и знаменатель (4).