Последовательности Дяди Федора

[staric]

Дядя Федор изучает сходящиеся последовательности типа $\{a_i\}:a_{i+1}=\{\frac{1}{a_i}\}$, определяя для каждого действительного $ c $ множество $\mathcal Ac$ всех последовательностей этого типа, таких, что $ \lim\limits_{i \to \infty} a_i = c $. Он считает, $\mathcal Ac$ может быть либо пустым, либо счетным, в зависимости от $ c $. Прав ли он? Счетно ли множество таких $ c $, для которых $\mathcal Ac$ не пусто?

[ИСН]

Последовательностей ( я ещё не проверял, есть ли они вообще) счётное число быть никак не может. Либо предельная точка итераций устойчива, либо нет. В первом случае к ней сходится целый бассейн, т.е. континуум. Во втором - последовательность тупо одна (константа).

-- менее минуты назад --

А нет, нифига. Они неустойчивы, но по причине урезания целой части (которая может быть разной) у каждой стационарной точки будет счётное число прообразов. А у тех прообразов - много своих прообразов. Там целый лес. Счётный.

-- менее минуты назад --

Сами же стационарные точки ("такие c, для которых не пусто") - это ${1\over2}\left(\sqrt{n^2+4}-n\right),\;n\in\mathbb N$, то есть их тоже счётно.

[Dave]

-- чуть менее, чем полминуты назад --

Пусть "генезис" последовательности есть число вида

$$\cfrac{1}{n_1+\cfrac{1}{n_2+\cfrac{1}{n_3+\cfrac{1}{\ldots}}}} \ ,$$

где $n_i \in \mathbb N$, $\lim\limits_{i \to \infty} n_i=+\infty$. Таких чисел целый континуум, а все последовательности сходятся к нулю. Значит дядя Фёдор, вообще говоря, неправ.

[staric]

Dave в сообщении #769180 писал(а):

дядя Фёдор, вообще говоря, неправ.

Точно. Запись $ a_0 $ цепной дробью быстро решает. Хотя ИСН тоже все правильно написал, просто нуля не заметил. Прикольное следствие: получается, для сходящихся $\{a_i\}:a_{i+1}=\{\frac{1}{a_i}\}$ для $ a_0 \in \mathbb{T} $ сразу имеем $\lim\limits_{i \to \infty} a_i = 0

[ИСН]

Вот чёрт. Опять числа Лиувилля (ну, не буквально они, но похожее семейство) всё испортили.