Инварианты правильного многоугольника

[Dave]

На плоскости нарисован правильный $n$-угольник $A_1A_2 \dots A_n$, из центра которого исходит некоторый луч $l$. Пусть $X_i$ - знаковая проекция точки $A_i$ на $l$. Докажите, что если $P(X_1,X_2,\dots,X_n)$ - произвольный симметрический многочлен степени ниже $n$, то значение этого многочлена на указанных проекциях не зависит от выбора луча $l$.

[nnosipov]

Тупо посчитать сумму проекций, сумму их квадратов и т.д. С комплексными числами, разумеется. Нет?

[Dave]

Не знаю, так не пробовал. По-моему, там синусы будут мешать.

[Null]

$\cos(nx)=T_n(\cos(x))$
Проекции - корни $T_n(\frac{x}{R})=\cos(n\varphi)$
А значит основные симметрические многочлены кроме последнего(произведение корней) не зависят от угла поворота.

[nnosipov]

Dave в сообщении #767189 писал(а):

многочлен степени ниже $n$

Пропустил это условие и поэтому недоумевал, почему утверждение верно. А с этим условием всё, естественно, получается.

Dave в сообщении #767201 писал(а):

По-моему, там синусы будут мешать.

Можно сделать так, что будут только косинусы. Ну а тогда всё сводится к известному факту типа

$$ \sum_{j=0}^{n-1} \cos{\frac{2\pi kj}{n}}=0 $$

при $1 \leqslant k<n$.

[Dimoniada]

nnosipov в сообщении #767190 писал(а):

Тупо посчитать сумму проекций, сумму их квадратов и т.д. С комплексными числами, разумеется. Нет?

Да.