Координаты центра и радиус вписанной сферы в пирамиду

[Dext]

Подскажите формулы координат $x_O,y_O,z_O$ центра $O$ и радиуса $r$ вписанной сферы в пирамиду $ABCD$.

Готовых формул в Сети не нашёл, только определение в книге

Цитата:

Центр вписанной сферы в пирамиду – точка, равноудаленная от всех граней пирамиды, есть точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды.

Если верно понял, то, следовательно, можно вычислить координаты этого центра по этим формулам:

\[\begin{aligned} x_O&= \frac{S_{BCD}\cdot x_A+S_{ACD}\cdot x_B+S_{ABD}\cdot x_C+S_{ABC}\cdot x_D}{S},\\[4pt] y_O&= \frac{S_{BCD}\cdot y_A+S_{ACD}\cdot y_B+S_{ABD}\cdot y_C+S_{ABC}\cdot y_D}{S},\\[4pt] z_O&= \frac{S_{BCD}\cdot z_A+S_{ACD}\cdot z_B+S_{ABD}\cdot z_C+S_{ABC}\cdot z_D}{S}, \end{aligned}\[

где $S_i$ - площади граней пирамиды и $S=S_{ABC}+S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}$.

Радиус этой сферы \[r=\frac{V}{S}\[, где $V$ - объём пирамиды.

Это верные формулы ?

[ИСН]

Dext в сообщении #760709 писал(а):

Радиус этой сферы $r=\frac{V}{S}$, где $V$ - объём пирамиды.

Разрежем пирамиду и развернём её нафиг на плоскость. На каждой грани развёртки построим призму высотой в этот Ваш $r$. Объём всего, что получилось, стало быть, будет $V$. Теперь попробуем свернуть пирамиду обратно, да так, чтоб запихать все эти тела в неё. Влезет? Нет? Почему?

[Dext]

Цитата:

Влезет? Нет? Почему?

Нет. Потому что забыл дописать $3$ возле $V$

А как найти координаты центра вписанной сферы в пирамиду?
Кроме, как через решение системы из уравнений биссекторных плоскостей.

[ИСН]

Координаты Ваши выглядят красиво, но я не понял, откуда они взялись.

[Dext]

Они неверны