Почему \int \frac {ydy}{\sqrt{y^2+1}} = \sqrt{y^2+1}+const?

[DigitChar]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться почему $ \int \frac {ydy}{\sqrt{y^2+1}} = \sqrt{y^2+1}+C$ ?

[nnosipov]

Что крючочек обозначает, понимаете? Напишите.

[DigitChar]

крючочек интеграл обозначает.

[nnosipov]

DigitChar в сообщении #760694 писал(а):

крючочек интеграл обозначает

А какой именно интеграл? Они разные бывают. Что значит интеграл?

[DigitChar]

Вот что я делаю.
Внесём y под дифференциал. Получим $\frac 1 2 \int \frac {d(y^2+1)}{\sqrt{y^2+1}}$. Заменим $t=y^2+1$. Теперь это $\frac 1 2 \int \frac {dt}{\sqrt{t}}$. Всё. Дошло. Такой интеграл равен $\sqrt{t}$.
А другой способ есть? Более простой и красивый.

[gris]

Попробуйте подстановку $y=\sh t$

Правда, это не ответ на первоначальный вопрос. "Почему?" вопрос более высокого (или глубокого) уровня, чем "Как получился такой ответ?" или "Как мне проверить этот ответ?". А то ведь можно продифференцировать правую часть и посмотреть, равна ли она тождественно подынтегральному выражению.

[ИСН]

DigitChar в сообщении #760701 писал(а):

А другой способ есть? Более простой и красивый.

Это и был простой и красивый. В интегралах постоянно такие вещи происходят. Не нравится - не ешьте.

[provincialka]

Насчет красоты не знаю, но более прост только справочник. Кстати, этот интеграл иногда включают в расширенную таблицу интегралов.

[DigitChar]

Спасибо всем.