Прогрессии, 7 класс

[Eiktyrnir]

Прорешиваю с ребенком разные задачки из прошлых олимпиад (готовимся).
Нашёл древнюю 2000-го года для 7-го класса и немогу решить задачку... бьюсь, но пока безрезультатно...
http://zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=b ... solution=0
Задача № 16
Цифры каждого из трех трехзначных чисел составляют арифметическую прогрессию, сумма этих чисел $750$. Найдите трехзначные числа.
Моё решение.
Пусть
$\overline{abc}=100a+10b+c$
$\overline{xyz}=100x+10y+z$
$\overline{mnk}=100m+10n+k$
эти трёхзначные искомые числа. К тому же
$b=\frac{a+c}{2}, y=\frac{x+z}{2}, n=\frac{m+k}{2}$ в силу условия задачи.
Еще известно, что
$100(a+x+m)+10(b+y+n)+(c+z+k)=750$ (по условию).
Значит в силу этого и должно выполняться, что
$a+x+m=7$
$b+y+n=5$
$c+z+k=0$
дальше тупик...

[Munin]

Ну очевидно, цифры все неотрицательны. Отсюда, либо $c=z=k=0$ (легко проверить), либо был-таки перенос.

[Tall]

А ответ должен быть однозначным? Кстати, сумма цифр тоже прогрессия, но у меня не получается однозначного ответа.

[Алексей К.]

Eiktyrnir в сообщении #759636 писал(а):

Значит в силу этого и должно выполняться, что
$a+x+m=7$
$b+y+n=5$
$c+z+k=0$
дальше тупик...

Вывод неверный.
$a+x+m=6$
$b+y+n=13$
$c+z+k=20$
И только после этого можно в тупик.

[Tall]

Алексей К.
Ага, я уже там, или это правильный ответ :)

[gris]

Во-первых, прогрессии могут быть и убывающими, то есть последние цифры могут быть и нулевыми.
Во-вторых, лучше для цифр использовать запись прогрессий с разностями. Сложить всё это дело в одну строку. Сократить. Получим отдельно сумму первых цифр с коэффициентом и сумму разностей с коэффициентом. Из соображений чётности и возможности, получим единственные значения этих сумм. Система Алексей К., естественно, выполняется. Я вот тут попытался угадать его соображения: Сумма арифметических прогрессий тоже арифметическая прогрессия. Ну и как бы понятно.
А дальше простор для подбора, ибо вариантов много.

$147+135+468=750; 147+246+357=750;$ $159+147+444=750; 159+159+432=750$

Может быть мы не так поняли условие?

[Munin]

gris в сообщении #759727 писал(а):

Во-первых, прогрессии могут быть и убывающими, то есть последние цифры могут быть и нулевыми.

Разумеется, но этот случай легко проверить. И свойство, что суммы тоже будут образовывать прогрессию, тут поможет :-)

[Алексей К.]

gris в сообщении #759727 писал(а):

Во-первых, прогрессии могут быть и убывающими, то есть последние цифры могут быть и нулевыми.

Это Вы о чём, gris? Кому-то возражаете? В конце концов, направление (слева направо, или наоборот) никем не утверждалось. Уже поэтому прогрессии могут быть всякими...

В данном примере последние цифры не могут быть нулевыми, потому что $0+0+0\not=20$.

[Munin]

(Оффтоп)

gris в сообщении #759727 писал(а):

Может быть мы не так поняли условие?

Интересно, а можно ли каждую цифру использовать не более одного раза?

[gris]

Я там подкорректировал своё последнее сообщение, не видя ваших двух. Да я с вами обоими в телепатической связи
Говоря о последних цифрах, я имел в виду, что возможно предположить, что одна из них будет нулём. Но я в своём решении не делал никаких предположений.

Каждую цифру по разу не получится.

[Алексей К.]

А я только 222+159+369 и 234+258+258 нащитал, а дальше типа надоело...
Вписываю в коллекцию.

[Munin]

(Оффтоп)

gris в сообщении #759739 писал(а):

Да я с вами обоими в телепатической связи

Всё проще: мысли дураков сходятся :-)

[Eiktyrnir]

Алексей К. в сообщении #759717 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #759636 писал(а):

Значит в силу этого и должно выполняться, что
$a+x+m=7$
$b+y+n=5$
$c+z+k=0$
дальше тупик...

Вывод неверный.
$a+x+m=6$
$b+y+n=13$
$c+z+k=20$
И только после этого можно в тупик.

Немогу понять вашей логики? Моя такая - $7$ сотен, $5$ десятков, $0$ единиц... Что у вас не соображу... откуда $6$ $13$ и $20$ взялось?

-- Чт сен 05, 2013 21:52:14 --

Munin в сообщении #759647 писал(а):

Ну очевидно, цифры все неотрицательны. Отсюда, либо $c=z=k=0$ (легко проверить), либо был-таки перенос.

ну да это самое простое что приходит в голову... но млин... даже если они нулевые - все равно трудно...

-- Чт сен 05, 2013 21:55:42 --

Алексей К. в сообщении #759736 писал(а):

gris в сообщении #759727 писал(а):

Во-первых, прогрессии могут быть и убывающими, то есть последние цифры могут быть и нулевыми.

Это Вы о чём, gris? Кому-то возражаете? В конце концов, направление (слева направо, или наоборот) никем не утверждалось. Уже поэтому прогрессии могут быть всякими...

В данном примере последние цифры не могут быть нулевыми, потому что $0+0+0\not=20$.

почему $20$???

[Алексей К.]

Eiktyrnir в сообщении #760904 писал(а):

Что у вас не соображу... откуда $6$ $13$ и $20$ взялось?

Сначала убедитесь, что во всех приведённых примерах это выполняется, а Ваша гипотеза никак не выполняется. Свои ошибки при этом сами поймёте.

А потом дальше. Предложенные мной числа, 6, 13, 20, тоже составляют прогрессию. Это случайность? Или это, наоборот, обязательно? Вы как думаете?

[Munin]

Eiktyrnir в сообщении #760904 писал(а):

Что у вас не соображу... откуда $6$ $13$ и $20$ взялось?

Это один из вариантов переноса:
$\begin{array}{r} \overset{1}{6}\overset{2}{3}0 \\ \hline 750 \end{array}$