Вопрос об критерии Лебега

[analitik777]

Пусть дан определённый интеграл. Можно ли из области интегрирования убрать конечное количество точек, если подынтегральная функция имеет разрывы 1-го рода?

[SpBTimes]

Вы про Римана? Куда убрать, зачем убрать?
Если изменить значение функции в конечном числе точек, то интеграл не изменится, если вы об этом.

[lena7]

Что значит "убрать" и что значит "можно"?

[analitik777]

SpBTimes в сообщении #759568 писал(а):

Вы про Римана? Куда убрать, зачем убрать?
Если изменить значение функции в конечном числе точек, то интеграл не изменится, если вы об этом.

Да, про Римана. Вот, например, интегрируем по промежутку от 2 до 3. И из этого промежутка интегрирования понадобилось убрать точку 2,5. Известно, что функция в этой точке терпит разрыв. Если эту точку уберём, то интеграл не изменится?

-- Пн сен 02, 2013 00:25:42 --

lena7 в сообщении #759569 писал(а):

Что значит "убрать" и что значит "можно"?

под "убрать" понимается выколоть точку. Ну или просто взять и исключить из области интегрирования. Под "можно" понимается вводное слово, которое означает вопрос ))

[SpBTimes]

Если функция ограничена, то не изменится. Но говорить "убрать точку" - плохо

[analitik777]

SpBTimes в сообщении #759573 писал(а):

Если функция ограничена, то не изменится. Но говорить "убрать точку" - плохо

Спасибо! А Вы не знаете, в какой книжке можно прочитать что достаточно ограниченности функции? Это чтобы вставить ссылку на источник в работу.

[lena7]

analitik777 в сообщении #759572 писал(а):

Да, про Римана.

analitik777 в сообщении #759572 писал(а):

Ну или просто взять и исключить из области интегрирования.

Интеграл Римана определяется для отрезка.

(Оффтоп)

analitik777 в сообщении #759572 писал(а):

Под "можно" понимается вводное слово, которое означает вопрос )).

Тогда можно. Разрешаю.

[SpBTimes]

Критерий Лебега изложен много где (напр. Зорич, Камынин): Для того чтобы функция $f(x)$ была интегрируема по Риману на отрезке $[a; b]$, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на $[a;b]$ и имела множество точек разрыва меры ноль (в смысле Лебега).

[analitik777]

SpBTimes в сообщении #759577 писал(а):

Критерий Лебега изложен много где (напр. Зорич, Камынин): Для того чтобы функция $f(x)$ была интегрируема по Риману на отрезке $[a; b]$, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на $[a;b]$ и имела множество точек разрыва меры ноль (в смысле Лебега).

Ещё раз спасибо! )) Обычно с такими вопросами не сталкивался, а тут вот пришлось ))

[provincialka]

(Оффтоп)

можно ли умножить подынтегральную функцию на 2?
Можно. Но интеграл тоже умножится на 2