Элементарные преобразования матриц.

[hedgehogues]

Привет.

Подскажите пожалуйста, есть ли какой-то геометрический смысл у элементарных преобразований матрицы системы? Т.е. какая-то геометрическая интерпретация. Например, происходят какие-то преобразования с векторами, плоскостью, которые задают данную систему. Ограничимся размерностью три.
1. Если рассматривать матрицу, умноженную на вектор, как линейную комбинацию столбцов-векторов.
2. Если рассматривать матрицу, умноженную на вектор, как множество пересекающихся плоскостей, которые задают соответствующие уравнения.

Спасибо.

[ewert]

hedgehogues в сообщении #758502 писал(а):

есть ли какой-то геометрический смысл у элементарных преобразований матрицы системы?

Нет, практически никакого геометрического смысла найти без натяжек не удастся, сугубо алгебраический. Ну вот выходит там результат -- ну и слава богу. Геометрический смысл если и удастся приплести, то не к "элементарным" преобразованиям, а к каким-нибудь более изощрённым; ну, скажем, к ортогональным преобразованиям -- там хоть можно поставить вопрос о том, чтобы соответствующие подпространства расходились на как можно больший угол.

[Oleg Zubelevich]

Пусть имеется матрица $A=(a_i^j)$. Поставим ей в соотвентствие векторы $v_k=a_k^se_s$, где $\{e_s\}$ -- базис пространства. Т.е. $k$-ый столбец матрицы это координаты вектора $v_k$

1) Умножение $i$-ой строки матрицы на $\lambda\ne 0$ это соответствует переходу к новому базису $e_l=e'_l$ при $l\ne i$ и $e_i=\lambda e'_i$

2) Добавлению $p-$строки к $m$-строке соотвествует переход к базису $e_p=e'_p+e'_m,\quad e'_i=e_i,\quad i\ne p$

3) поменять местами две строки -- сами догадайтесь какому преобразованию базиса это соответствует.

Из этого наблюдения, например, следует, что если несколько столбцов матрицы линейно независимы, то они и останутся таковыми после элементарных преобразований строк. -- Переход к новому базису не влияет на линейную зависимость векторов

[apriv]

ewert в сообщении #758522 писал(а):

Нет, практически никакого геометрического смысла найти без натяжек не удастся, сугубо алгебраический.

Конечно же, у элементарных преобразований есть геометрический смысл (можно сказать, что только геометрический и есть). Посмотрите на примерах, что делают матрицы элементарных преобразований: растяжения, отражения и трансвекции. Трансвекции, конечно, самые важные из них: они осуществляют такое «скашивание» в двумерном подпространстве. У них огромное количество чисто геометрических приложений: например, понятно, что такое преобразование можно производить «постепенно» непрерывным образом (домножив аргумент трансвекции на переменную $t$, пробегающую значения от нуля до единицы). Если матрица лежит в элементарной подгруппе полной линейной группы (то есть, раскладывается в произведение трансвекций), то она, следовательно, в некотором смысле «стягивается» к единичной: на этом основаны многие идеи в гомотопической теории. Кроме того, известно, что матрица поворота (в двумерном пространстве) раскладывается в произведение трех трансвекций: это разложение имеет конкретные приложения в компьютерной графике. Известно, что над хорошими кольцами почти любая обратимая матрица является произведением трех унитреугольных (а унитреугольная очевидным образом раскладывается в произведение трансвекций).

[ewert]

apriv в сообщении #758759 писал(а):

Посмотрите на примерах, что делают матрицы элементарных преобразований: растяжения, отражения и трансвекции.

Они уж чересчур специфичны. Они ориентированы специально на метод Гаусса (ибо никакого другого понимания термина "элементарные преобразования" в природе вроде и не существует). А этот метод сам по себе -- сугубо алгебраичен, и притянуть к нему нечто геометрическое можно разве что за уши.