Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака

[Lvov]

Уважаемые участники форума, хочу узнать Ваше мнение по поднятому вопросу, который, как мне кажется, изменяет значимость решения уравнения Шредингера для квантового осциллятора.

Решение уравнения Шредингера для квантового гармонического осциллятора играет большую роль и приводится во многих учебниках по квантовой механике. Рассматриваемое решение показывает, что последовательные квантовые состояния осциллятора с номерами n=(1, 2, 3,...) характеризуются эквидистантным спектром энергий при разности энергий последовательных состояний $\Delta E=\hbar \omega_s$, где $\hbar$ - постоянная Планка, а $\omega_s$ - угловая частота колебаний классического аналога квантового осциллятора. Помимо указанных квантовых состояний существует так называемое нижнее нулевое состояние осциллятора с энергией, равной половине приведенного выше значения $\Delta E$.
Эквидистантный спектр энергий квантового осциллятора положен в основу квантования электромагнитного (ЭМ) излучения в квантовой электродинамике, где читается, что каждое спектральное состояние волнового электромагнитного поля с частотой $\omega_k$ в некоторой прямоугольной области является аналогом квантового осциллятора с той же частотой колебаний. Предполагается, что энергия таких состояний может принимать ряд дискретных значений. При этом рассматриваемая спектральная составляющая электромагнитного излучения содержит как бы несколько одинаковых частиц - фотонов с нулевой массой покоя, энергией $E=\hbar\omega_k$ и импульсом $P=c\hbar\omega_k$. Считается так же, что как и в квантовом осцилляторе, каждая спектральная составляющая ЭМ излучения характеризуется скрытой нулевой энергией, равной $0,5\hbar\omega_k$, то есть - половинному значению энергии реального фотона.

Нерелятивистское уравнение Шредингера, используемое для определения энергетических уровней квантового осциллятора, не является самым точным волновым уравнением, описывающим состояния и поведение электрона и других микрочастиц. Более точными принято считать релятивистское уравнение Клейна-Гордона, правильно описывающее высокоэнергетические бесспиновые микрочастицы, и уравнение Дирака, учитывающее наряду с релятивистскими эффектами также спин электрона. Ввиду сказанного представляет интерес поиск и анализ решений уравнений Клейна-Гордона и Дирака для квантового осциллятора, т.е. решений указанных уравнений с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от величины отклонения частицы от начального положения. Поскольку поиск решений указанных задач в интернете оказался безуспешным, автор предлагает к рассмотрению собственные изыскания в рассматриваемой области. Пожалуйста, сообщите источник, если кто-либо знаком с решением поставленной задачи.

Путем некоторых преобразований стационарное уравнение Клейна-Гордона для одномерного линейного осциллятора приводится к следующему обобщенному виду с безразмерными переменными:

$$\frac{\partial^2\psi} {\partial x^2}+(\varepsilon^2-1-2\varepsilon d \, x^2+d^2x^4)\psi=0.$$

Здесь приняты следующие обозначения переменных:
скорость света и постоянная Планка приняты равными 1 ($c=\hbar=1$);
$x = X / \lambda$, где $X$ - обычная координата, а $\lambda = 1 / m$ - комптонова длина волны микрочастицы;
$\varepsilon = E \lambda$ - обобщенная полная энергия электрона, выражаемая в единицах энергии массы покоя;
массовый член уравнения при подобном преобразовании приобретает значение 1;
$d = D \lambda^3$ - безразмерный коэффициент крутизны стенок квадратичного потенциального ящика.
При решении данного уравнения был выполнен предварительный качественный его анализ, а для его точного решения использованы вычислительные методы. Анализ решения показывает, что первые два участка изменения волновой функции в определенной степени подобны соответствующим участкам шредингеровой волновой функции для линейного осциллятора, в то время, как ее концевые колебательные участки, отсутствующие в осцилляторе Шредингера, заслуживают отдельного рассмотрения. Эти участки отвечают весьма большому значению заграждающего энергетического потенциала, превышающего удвоенную энергию покоя частицы, и видимо, связаны с так называемым парадоксом Клейна, который заключается в легком преодолении заряженной низкоэнергетической частицей энергетического заграждающего барьера, превышающего величину удвоенной энергии частицы. Правая часть симметричной относительно оси типичной волновой функции осциллятора Клейна-Гордона для квантового числа $n=20$ приведена на нижеследующем рисунке.

Энергия всех квантовых состояний осциллятора Клейна-Гордона (за вычетом энергии покоя частицы) меньше энергии соответствующих состояний осциллятора Шредингера. При этом разность энергий последовательных состояний рассматриваемого осциллятора не является постоянной величиной, а возрастает с ростом квантового числа. Степень уменьшения энергии произвольного n-состояния зависит также от величины $d$ - коэффициента крутизны склонов квадратичной потенциальной ловушки. Например, энергия состояния осциллятора, показанного на приведенном рисунке меньше энергии подобного состояния осциллятора Шредингера на 1,9%.

Количественный анализ показывает, что энергия квантовых состояний осциллятора Клейна-Гордона меньше энергии соответствующих состояний осциллятора Шредингера на величину, зависящую от квантового числа $n$ и крутизны потенциально-энергетической ловушки $d$. При этом в диапазоне изменения показателей $n=0 - 40$ и $d=(1 -10)\cdot 10^{-5}$ ориентировочное значение разности энергий одинаковых состояний осцилляторов Шредингера и Клейна-Гордона может быть рассчитано по формуле

$$\varepsilon_{Sh}-\varepsilon_{KG} = (0,3n^2+1,3n+0,02)\cdot d.$$

В случае одномерного осциллятора Дирака с запирающим квадратичным потенциалом, направление изменения которого совпадает с направлением спина электрона (координатная ось $z$), система уравнений для двух отличных от нуля пространственных компонент спинорной волновой функции $\psi_1$ и $\psi_3$ может быть сведена в обобщенных переменных к следующему виду

$$\frac{\partial^2\psi_1} {\partial x^2} +\frac {2d\cdot x} {1+\varepsilon - d \cdot x^2} \frac {\partial \psi_1} {\partial x}+(\varepsilon^2-1-2\varepsilon d\, x^2+d^2x^4)\psi=0,$$

$$\psi_3=-i \frac {\psi_1} {1+\varepsilon-d\cdot x^2}.$$

Можно видеть, что первое основное уравнение осциллятора Дирака, определяющее характер изменения волновых функций и энергию последовательных квантовых состояний, отличается от соответствующего уравнения Клейна-Гордона лишь одним дополнительным членом, содержащим первую производную от компоненты волновой функции $\psi_1$, описывающим спиновое взаимодействие электрона с электрическим полем. Заметим также, что варианты уравнений осциллятора Дирака с обратным направлением спина или с поперечным его направлением относительно направления изменения квадратичного запирающего потенциала принципиально ничем не отличаются от рассмотренного варианта с продольным прямым направлением спина.

Переходя к анализу уравнений осциллятора Дирака, прежде всего, отметим относительно малое влияние дополнительного члена с первой производной, как на вид и величину волновой функции (изменение - единицы процента) в области умеренных значений координаты $x$, так и на величину энергии последовательных квантовых состояний (изменение - тысячные доли процента).

Основные выводы, следующие из приведенного выше анализа. В отличие от квантового линейного осциллятора Шредингера релятивистские осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака не отличаются эквидистантностью уровней энергии последовательных квантовых состояний. Уровни энергии квантовых состояний релятивистских осцилляторов и их разность для последовательных квантовых состояний меньше соответствующих показателей осцилляторов Шредингера, причем снижение значений упомянутых показателей возрастает с увеличением квантового числа и крутизны склонов потенциальной ловушки. Энергия состояний осцилляторов Дирака несколько превышает энергию соответствующих состояний осцилляторов Клейна-Гордона. При этом величина указанного превышения не зависит от квантового числа и возрастает пропорционально показателю крутизны склонов потенциальной ловушки.
Более детальное рассмотрение квантовых линейных осцилляторов на основе уравнений Клейна-Гордона и Дирака приведено в статье
Решение уравнений Клейна-Гордона и Дирака для квантового осциллятора

С уважением О.Львов

[ИгорЪ]

Lvov
Предъявите гамильтониан (лагранжиан) "гармонического осциллятора Клейна=Гордона", иначе, думаю, всё уйдет в пургаторий.

[dvb]

Даже если Ваши выкладки справедливы, что тут подлежит обсуждению? Неэквидистантность стационарных уровней массивной частицы следует из уравнения Шредингера даже в квадратичном потенциале и в нерелятивистском случае. Это первое приближение описания атома. Все велосипеды такого рода уже давно изобретены.
Если же Вы собираетесь таким манером описать фотон, объявив его массивным -
ну-у... Есть много разных способов убивать время - этот не самый худший.

[VladimirKalitvianski]

dvb в сообщении #756526 писал(а):

Неэквидистантность стационарных уровней массивной частицы следует из уравнения Шредингера даже в квадратичном потенциале и в нерелятивистском случае.

А можно пару слов поподробнее про эту неэквидистантность? Я ни разу такого не слышал.

Конечно, амплитуды поля фотона удовлетворяют формально нерелятивистскому уравнению осциллятора и нет тут предпосылок к "обобщению", все уже точно и так.

[dvb]

VladimirKalitvianski в сообщении #756574 писал(а):

А можно пару слов поподробнее про эту неэквидистантность? Я ни разу такого не слышал.

У Вас завидная реакция. Разумеется, имелся в виду кулоновский.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

dvb в сообщении #756590 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #756574 писал(а):

А можно пару слов поподробнее про эту неэквидистантность? Я ни разу такого не слышал.

У Вас завидная реакция. Разумеется, имелся в виду кулоновский.

А я просто думал, что я что-то современное про осцилляторы упустил.

[Lvov]

ИгорЪ в сообщении #756475 писал(а):

Lvov
Предъявите гамильтониан (лагранжиан) "гармонического осциллятора Клейна=Гордона", иначе, думаю, всё уйдет в пургаторий.

Кто Вы, господин ИгорЪ? Почему пугаете пургаторием, в случае, если не укажу гамильтониан (лагранжиан)? Разве недостаточно того, что я привожу уравнение Клейна-Гордона для рассматриваемого случая?
Лагранжиан же уравнения Клейна-Гордона в рассматриваемом случае (одномерная стационарная задача, квадратичная зависимость запирающего электрического потенциала от координаты $A_0=D\,x^2$ имеет следующий вид:

$$L=\frac {\partial \psi^*}{\partial x} \frac {\partial \psi}{\partial x}- ((E-eA_0)^2-m^2) \psi^* \psi .$$

Здесь $E$ - полная энергия частицы, включающая энергию ее покоя,
$D$ - коэффициент крутизны склонов запирающей частицу потенциальной ловушки.

dvb в сообщении #756526 писал(а):

Даже если Ваши выкладки справедливы, что тут подлежит обсуждению?
Есть много разных способов убивать время - этот не самый худший.

Можно, конечно, ничего не обсуждать, а принять к сведению любопытные результаты решения уравнения Клейна-Гордона и Дирака для одномерного осциллятора, и отнести тему в раздел общая "Физика". А интересны рассматриваемые решения прежде всего тем, что в отличие от решения менее точного уравнения Шредингера, здесь разность энергий последовательных квантовых состояний не является постоянной величиной. Но именно, энергетическая эквидистантность неточного решения Шредингера для электронного осциллятора позволила объявить спектральные составляющие электромагнитного поля аналогами электронных квантовых осцилляторов, а возбужденные состояния этих осцилляторов - состояниями с некоторым числом фотонов, обладающих одинаковой энергией $\omega \, \hbar$. Выходит, что теория монохроматических фотонных осцилляторов не имеет основания?

Извините, повторюсь, мне интересно знать: имеются ли работы, где рассмотрены вопросы решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака для квантового осциллятора?

С уважением О.Львов

[warlock66613]

Lvov в сообщении #756628 писал(а):

Выходит, что теория монохроматических фотонных осцилляторов не имеет основания?

Lvov, как уже сказал VladimirKalitvianski, уравнение для фотонного осциллятора математически совпадает с уравнением обычного, нерелятивистского, осциллятора (без всяких поправок).

[ИгорЪ]

Lvov
Ваш лагранжиан - дает стационарное уравнение Шредингера для частицы (нерелятивистской!) во внешнем поле. Причем здесь слова про релятивистские уравнения осциллятора? Вы погуглите http://www.google.ru/#fp=17145a512d0ace ... oscillator и поймёте, что релятивистский осциллятор - весьма сложное и до конца не устоявшееся понятие.

[Lvov]

warlock66613 в сообщении #756633 писал(а):

Lvov, как уже сказал VladimirKalitvianski, уравнение для фотонного осциллятора математически совпадает с уравнением обычного, нерелятивистского, осциллятора (без всяких поправок).

Хорошо сказано. Вопрос лишь в том существует ли фотонный осциллятор? Лазеры не в счет, там другой принцип работы.

ИгорЪ в сообщении #756647 писал(а):

Ваш лагранжиан - дает стационарное уравнение Шредингера для частицы (нерелятивистской!) во внешнем поле. Причем здесь слова про релятивистские уравнения осциллятора? Вы погуглите http://www.google.ru/#fp=17145a512d0ace ... oscillator и поймёте, что релятивистский осциллятор - весьма сложное и до конца не устоявшееся понятие.

Вы ошибаетесь, мой лагранжиан дает стационарное уравнение Клейна-Гордона. Применяя к нему формулу Лагранжа получим должное уравнение:

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+[(E-eA_0)^2-m^2]\psi=0.$$

Лагранжиан же уравнения Шредингера для рассматриваемого случая имеет вид:

$$L=\frac {\hbar ^2}{2m}\,\frac {\partial \psi^*}{\partial x} \frac {\partial \psi}{\partial x}-(E-eA_0)\psi^* \psi $$

и приводит к соответствующему уравнению:

$$\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+(E-eA_0)\psi=0.$$

В последнем уравнении энергия электрона $E$ не включает энергию массы покоя, а его потенциальная энергия $eA_0$ может быть записана в форме $\frac {m\omega^2\,x^2} 2$, где $\omega$ - частота осцилляции механического аналога.

Касательно современного состояния теории релятивистского осциллятора ("Вы погуглите") замечу, что специалисты погрязли в поисках подходящего гамильтониана, и не догадываются решать известные уравнения Клейна-Гордона и Дирака с квадратичной зависимостью потенциала, запирающего электрон. Те более, что эти уравнения не имеют решения в известных функциях.

С уважением О.Львов

[warlock66613]

Lvov в сообщении #756735 писал(а):

Вопрос лишь в том существует ли фотонный осциллятор?

Нет, вопрос на сегодняшний день должен быть другой - какие у вас есть сомнения (конструктивные) в существовании этого самого осциллятора? Если таких сомнений нет, то и вопроса нет. Если есть, то следующий вопрос - что вы сделали, чтобы развеять эти сомнения?

[Lvov]

warlock66613 в сообщении #756737 писал(а):

Lvov в сообщении #756735
писал(а):

Цитата:

Вопрос лишь в том существует ли фотонный осциллятор?

Нет, вопрос на сегодняшний день должен быть другой - какие у вас есть сомнения (конструктивные) в существовании этого самого осциллятора? Если таких сомнений нет, то и вопроса нет. Если есть, то следующий вопрос - что вы сделали, чтобы развеять эти сомнения?

Есть физическая модель, которая с определенной натяжкой может претендовать на роль фотонного осциллятора. Это замкнутая полость, рассмотренная Планком. При некоторой ненулевой температуре стенок электроны, переходя между всевозможными устойчивыми состояниями излучают фотоны. Вероятность их распределение по частоте зависит от температуры стенок, и в случае абсолютно черных стенок подчиняется закону Планка.
При нулевой температуре стенок имеем внутри полости физический вакуум, когда в каждом квантовом состоянии имеется один фотон (нулевое вакуумное состояние).

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #756628 писал(а):

Выходит, что теория монохроматических фотонных осцилляторов не имеет основания?

А может просто слово "осциллятор" в разных местах употребляется в разных смыслах? То есть дело в лексике, а не в физике.

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #756880 писал(а):

Есть физическая модель, которая с определенной натяжкой может претендовать на роль фотонного осциллятора. Это замкнутая полость, рассмотренная Планком.

Это верно, что для электромагнитного поля нужна материя. Но роль фотонного осциллятора играет амплитуда пространственной Фурье-гармоники ЭМП. Сами уравнения Максвелла релятивистские, так что никаких особых уточнений для уравнений амплитуд их гармоник ни откуда не следует. Вы же освоили уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Уравнения Максвелла даже проще.

Цитата:

При нулевой температуре стенок имеем внутри полости физический вакуум, когда в каждом квантовом состоянии имеется один фотон (нулевое вакуумное состояние).

В этом состоянии фотонов совсем нет, а есть "нулевые колебания" ЭМП.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #756880 писал(а):

А может просто слово "осциллятор" в разных местах употребляется в разных смыслах? То есть дело в лексике, а не в физике.

Уважаемый Сергей, осциллятор - колебательная система. Электронный квантовый осциллятор - колебательная система, в которой сила, возвращающая электрон в равновесное положение пропорциональна отклонению от равновесия, иначе говоря, заграждающий электрический потенциал - пропорционален квадрату координаты. Ничего подобного в электромагнитной теории мы не знаем. Объявление спектральной составляющей ЭМ поля внутри некоторого прямоугольного объема аналогом шредингеровского осциллятора привычная игра слов.
Простейший оптический резонатор (осциллятор) - два противопоставленных зеркала. Эти зеркала могут размещаться в оптически активной среде (это лазер). В таком случае могут возникать незатухающие колебания на частотах с различной длиной волны, определяемой, прежде всего особенностью активной среды, и с обратной кратностью удвоенному оптическому расстоянию между зеркалами. Но это уже другая физическая модель при прежней терминологии.

VladimirKalitvianski в сообщении #756884 писал(а):

роль фотонного осциллятора играет амплитуда пространственной Фурье-гармоники ЭМП. Сами уравнения Максвелла релятивистские, так что никаких особых уточнений для уравнений амплитуд их гармоник ни откуда не следует. Вы же освоили уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Уравнения Максвелла даже проще.

Цитата:

Lvov:
При нулевой температуре стенок имеем внутри полости физический вакуум, когда в каждом квантовом состоянии имеется один фотон (нулевое вакуумное состояние).

В этом состоянии фотонов совсем нет, а есть "нулевые колебания" ЭМП.

Г. VladimirKalitvianski, я нашел решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака, чтобы показать отсутствие эквидистантности уровней энергии в соседних состояниях в квантовом электронном осцилляторе. Вы пишите "уравнения Максвелла даже проще". Но дело в том, что я не вижу здесь физической модели, подобной модели электронного осциллятора.

Г. VladimirKalitvianski, полностью с Вами согласен в отношении термина "нулевые колебания". Я просто применил терминологию, принятую в Квантовой электродинамике. Однако хочу отметить, что в каждом спектральном состоянии средняя мощность нулевых вакуумных ЭМ колебаний равна $\hbar \omega$, а не $0,5\,\hbar \omega$, как принято считать.

С уважением О. Львов