Теория поля: действительные векторные поля.

[MacSinus]

Добрый день всем, я тут новый, потому не ругайтесь сильно, если что не так. Вопрос касательно теории поля. Потому я тут приведу краткий путь своих рассуждений, а вы поправьте, если я неправ и укажите место.

Рассмотрим действительное векторное поле. Раз оно действительное, то к нему в принципе не применимы калибровочные преобразования первого рода (смена фазы волны, домножение на $\psi ' = \psi e^{i\alpha}$). Т.е. если к нему не применимы калибровочные преобразования, то не будет выполнятся и закон сохранения заряда, а потому действительные поля не могут описывать заряженные частицы. С другой стороны для действительного поля мы можем получить, что оно либо скалярное, либо векторное и имеет спин равный единице. Т.е. мы получаем, что любые нейтральные частицы --- бозоны?

[Munin]

MacSinus в сообщении #756067 писал(а):

Раз оно действительное, то к нему в принципе не применимы калибровочные преобразования первого рода (смена фазы волны, домножение на $\psi ' = \psi e^{i\alpha}$).

А что такое "первого рода"? Это из какой книги такое название?

MacSinus в сообщении #756067 писал(а):

Т.е. если к нему не применимы калибровочные преобразования, то не будет выполнятся и закон сохранения заряда, а потому действительные поля не могут описывать заряженные частицы.

Не всякие заряженные частицы требуют закона сохранения заряда. Есть много зарядов, не сохраняющихся, но во взаимодействиях ведущих себя как заряды.

MacSinus в сообщении #756067 писал(а):

С другой стороны для действительного поля мы можем получить, что оно либо скалярное, либо векторное и имеет спин равный единице.

А почему все остальные спины исключаются?

MacSinus в сообщении #756067 писал(а):

Т.е. мы получаем, что любые нейтральные частицы --- бозоны?

Скорее, из вашей логики (в которой есть ряд неясных мест) следует обратное. А нейтральные фермионы - ну, например, нейтрино чем не годится? Они, конечно, не действительные векторные, но ваше общее утверждение этого и не указывает.

А векторное поле заведомо будет бозонным, по теореме о связи спина со статистикой.

[fizeg]

Читайте про фермионы Майораны (Majorana)

[MacSinus]

Munin в сообщении #756089 писал(а):

А что такое "первого рода"? Это из какой книги такое название?

А.А. Богуш. Л.Г. Мороз. -- Введение в теорию классических полей, \S 14. Кстати там же, в конце этого 14 параграфа нашел одно из промежуточным моих рассуждений:

Цитата:

Это означает, что только комплексные поля могут описывать зараженные частицы.

Книжица не всюду строгая, но читается легко.

Munin в сообщении #756089 писал(а):

А почему все остальные спины исключаются?

Там же несколько параграфами позже (если не ошибаюсь, то \S 20) убедительно показал, что для действительных полей другие спины невозможны.

Munin в сообщении #756089 писал(а):

А нейтральные фермионы - ну, например, нейтрино чем не годится?

Нейтрино несет в себе слабый заряд. Я все-таки тут размышляю моделями, только лишь при одном поле, и т.д. и т.п.

P.S. А косяк в своих рассуждениях я таки нашел. Все оказалось неимоверно просто=) Из того что все частицы, описываемые действительными векторными полями есть незаряженные бозоны, совершенно не следует, что все незаряженные есть бозоны. Обычная логика, сорри, затупил. Ну когда ботаешь, мозги плывут, бывает=)

-- 21.08.2013, 13:06 --

fizeg в сообщении #756132 писал(а):

Читайте про фермионы Майораны (Majorana)

А можно где-нибудь почитать про это, но только чтобы не сильно сложно? Я таки студент еще, учусь.

[Munin]

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

А.А. Богуш. Л.Г. Мороз. -- Введение в теорию классических полей, \S 14.

В общем, обычно это калибровочными преобразованиями вообще не называется, а называется глобальными преобразованиями симметрии. Калибровочными называются преобразования, задающиеся параметрами, зависящими от точки, $\alpha(x).$ Книжка Богуша сильно устарела: первое издание 1968 года, а современное изложение классических полей появилось где-то в 70-е. Рекомендую вместо Богуша взять Рубакова "Классические калибровочные поля". Ну, или любую литературу не раньше середины 70-х.

Кроме того, вот теорем Нётер необходимо различать две: для глобальных и для калибровочных симметрий. В общем, более важную и интересную часть Богуш пропускает, и его книжка имеет скорее исторический интерес, "как это когда-то выглядело".

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

Кстати там же, в конце этого 14 параграфа нашел одно из промежуточным моих рассуждений:

Цитата:

Это означает, что только комплексные поля могут описывать зараженные частицы.

Опять же, этот факт в современной терминологии формулируется иначе.

Слово "заряд", введённое в допотопные времена, оказалось связанным с несколькими разными сущностями в современном теоретическом framework-е. А именно:
1. Заряд как сохраняющаяся (локально) величина.
2. Заряд как источник поля.
3. Заряд как генератор группы симметрии.
Эти все употребления неэквивалентны. Например, в случае электрического поля они совпадают. Но во многих других случаях - нет. В основном, под зарядом сегодня понимают, прежде всего, значение 2. "Заряд поля" $A$ означает, что поле $A$ является источником поля $B.$ Конкретная величина заряда есть константа взаимодействия. Значение 1, когда оно не совпадает с 2, чаще называется просто "числом": барионное число, лептонное число. Хотя, есть исключение: "топологический заряд" является "зарядом в значении 1", и даже хуже: он сохраняется нелокально. Значение 3 (когда имеет место) порождает значение 1, и в случае локальной (калибровочной) симметрии - значение 2. Так что, отдельно оно не встречается, и говорить о нём стоит только в высоко-теоретическом контексте.

А процитированное вами утверждение Богуша касается только значения 1, и не относится к значению 2.

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

Там же несколько параграфами позже (если не ошибаюсь, то \S 20) убедительно показал, что для действительных полей другие спины невозможны.

Я даже читать не буду. Я только напомню, что гравитационное поле есть действительное поле спина 2.

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

Нейтрино несет в себе слабый заряд.

Вот только он не сохраняется, в смысле, описанном в § 14 Богуша. Так что не считается.

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

Я все-таки тут размышляю моделями, только лишь при одном поле, и т.д. и т.п.

Понятие заряда (и в большой степени, понятие симметрии) становится осмысленным только в случае взаимодействующих полей. Почитайте всё-таки Рубакова. Тоже легко читается.

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

P.S. А косяк в своих рассуждениях я таки нашел. Все оказалось неимоверно просто=) Из того что все частицы, описываемые действительными векторными полями есть незаряженные бозоны, совершенно не следует, что все незаряженные есть бозоны. Обычная логика, сорри, затупил.

В общем, я вам про это и сказал.

-- 21.08.2013 19:48:34 --

MacSinus в сообщении #756355 писал(а):

Там же несколько параграфами позже (если не ошибаюсь, то \S 20) убедительно показал, что для действительных полей другие спины невозможны.

Не выдержал, открыл. Вы неправильно поняли параграф. Весь параграф посвящён векторным полям. Для векторных полей возможен только один спин: 1. Проекции спина, действительно, будут, 0, ±1, но сам спин всегда 1. Причём, это верно и для действительных, и для комплексных полей. Другие спины соответствуют другим тензорным рангам:
- скалярное поле - спину 0;
- тензорное поле ранга 2 (симметричное, разумеется) - спину 2;
- и так далее, тензор ранга $k$ - спину $k$.
Более точно, тензор ранга $k$ распадается на набор спинов $0,\ldots,k$ но в теории поля говорят обычно только о старшем из них - остальные просто могут быть описаны как другие поля младших спинов (и тензорных рангов, соответственно). Например, в гравитации, чтобы исключить вклад спина 0, уравнение Эйнштейна записывается как $R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu},$ а не как $R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu},$ что первое приходит в голову.

[fizeg]

MacSinus
Честно говоря, что лучше читать с ходу не скажу, но они по-моему упоминаются хотя бы мельком везде, где рассказывается про спиноры. По хорошему, стоит почитать про представления группы Лоренца.

Если вы знакомы со спинорами Дирака, схожая штука существует в любом измерении (только другой размерности) В некоторых измерениях кроме Дираковских спиноров существует еще и вещественное представление - спиноры Майораны. Они есть и в нашем родимом 3+1 пространстве-времени (но не в евклидовом 4-мерии)

Если говорить о повседневной жизни, в 3+1 как в любом четном измерении спинор Дирака можно представить в виде двух 2-компонентных спиноров Вейля - левого и правого. Есть киральный базис, в котором
$\gamma_5=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad \Psi=\begin{pmatrix}\psi_L\\ \psi_R\end{pmatrix}$
Для описания безмассовых частиц на самом деле не нужен весь спинор Дирака, достаточно левого или правого. Но если вводить массу, нам нужно смешать левую частицу с правой. Дираковская масса так и строится - введением смешивающего члена $m(\psi_R^\dagger\psi_L+\psi_L^\dagger\psi_R)$

Но вместо того, чтобы вводить независимый правый спинор, можно построить его из левого с помощью операции зарядового сопряжения $\psi_R=\psi_L^{C}$ и массу сделать за счет смешивания с ним. Спинор
$\Psi=\begin{pmatrix}\psi_L\\ \psi_L^{C}\end{pmatrix}, \Psi^{C}=\Psi$и есть спинор Майораны. Существует Майорановский базис, в котором все матрицы Дирака чисто мнимые (или чисто вещественные, если сигнатура не $(+,-,-,-)$, а $(-,+,+,+)$) и $\Psi^{C}=\Psi$ означает просто $\Psi^\ast=\Psi$, т.е. он чисто вещественный.

По смыслу: левый спинор описывает левую частицу и правую античастицу. Мы сказали частица=античастица и так получили правую компоненту. По построению никаких зарядов такая штука нести не может.

Касательно нейтрино. Если бы нейтрино были безмассовыми, можно было бы обойтись $\nu_L$ И забыть про правую компоненту, благо она была бы абсолюно стерильна. Но поскольку масса у нейтрино есть, встает проблема как она реализована. Можно пойти тем же путем, что и с заряженными лептонами (и тогда у нас такой же массы правая компонента). А можно предположить, что нейтрино майорановское.

Реализовать это можно например так. Изначально у нас есть независимое левое и правое нейтрино $\nu_L$, $\nu_R$. К левому цепляется $SU(2)$ калибровочное поле, что делает введение для него массы майорановским способом проблематичным. Но правое абсолютно стерильно и ничто не мешает ввести для него массу $M$. Дальше мы смешиваем $\nu_L$ и $\nu_R$ массой Дирака $m$ как это делаем для заряженных лептонов, через Хиггсовский механизм, т.е. получаем
$\begin{pmatrix}\nu_L^{C}\\\nu_R^{C}\end{pmatrix}^\dagger\gamma^0\begin{pmatrix}0&m\\m&M\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\nu_L\\\nu_R\end{pmatrix}$
$m$ может быть такого же порядка как массы лептонов, а про $M$ скажем, что оно много больше $m$. Тогда при диагонализации у нас получится наше нейтрино с очень маленькой майорановской массой $\frac{m^2}{M}$, а также практически стерильное и очень тяжелое $M$. Так мы и можем пытаться объяснить, почему же нейтрино такое легкое. Это очень популярный seesaw mechanism

Но при этом мы получаем, что нейтрино - майорановская частица, которая является своей же античастицей, а это приведет к нарушению сохранения лептонного заряда. В таком случае должен происходить двойной безнейтринный бета-распад, который ищут в нескольких экспериментах.

[Munin]

fizeg в сообщении #756541 писал(а):

MacSinus
Честно говоря, что лучше читать с ходу не скажу, но они по-моему упоминаются хотя бы мельком везде, где рассказывается про спиноры. По хорошему, стоит почитать про представления группы Лоренца.

А жаль. Интересно было бы узнать, где это рассказывается не мельком.

Впрочем, ваши пояснения тоже очень помогли, спасибо.

fizeg в сообщении #756541 писал(а):

По построению никаких зарядов такая штука нести не может.

Хм, а если заряду тоже всё равно, плюс или минус? Например, заряд образует группу $\mathbb{Z}_2$ (честно говоря, других возможностей и не вижу).

fizeg в сообщении #756541 писал(а):

Это очень популярный seesaw mechanism

А существуют версии see-saw механизма для нейтрино, в которых смешиваются не правые и левые компоненты одного нейтрино? Я так понимаю, это позволило бы сохранить see-saw массу, но избавиться от двойного безнейтринного $\beta.$

[fizeg]

Munin
Только я конечно расписал смешивание в Seesaw неправильно

Должно быть так

$\begin{pmatrix}\nu_L^{C}\\\nu_R\end{pmatrix}^\dagger\gamma^0\begin{pmatrix}0&m\\m&M\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\nu_L\\\nu_R^{C}\end{pmatrix}$

Т.е. с одной стороны правые, а с другой левые.

Такой Seesaw это в общем-то минимальная реализация, но этим он и красив. А учитывая, что он замечательно реализовывается в популярных расширениях вроде великого объединения с SO(10)... А так, возьмите не два Вейлевских, а два Дираковский спинора - так же сработает

Тут опять же, смотря какой "заряд" :) Если операция зарядового сопряжения его меняет, то нести не может.

Кстати вот такой момент. Пусть $M=0$ (т.е. никаких качелей, обычная Дираковская частица) Можем и в этом случае диагонализовать, не так ли?

[MacSinus]

fizeg, спасибо, в общих понятиях ясно, но мне пока рановато для этого=)

Munin, спасибо, попробую открыть Рубакова. В любом случае, на одной книжке я не зацикливаюсь, просто Богуш очень легко пошел.

[Munin]

fizeg в сообщении #756722 писал(а):

Только я конечно расписал смешивание в Seesaw неправильно

Ну, я настолько не вглядывался, я середину прочитал, и понял.

fizeg в сообщении #756722 писал(а):

А так, возьмите не два Вейлевских, а два Дираковский спинора - так же сработает

Ага!

fizeg в сообщении #756722 писал(а):

Кстати вот такой момент. Пусть $M=0$ (т.е. никаких качелей, обычная Дираковская частица) Можем и в этом случае диагонализовать, не так ли?

Да, разумеется. Вопрос только в том, что при этом диагонализованные состояния будут сильно отличаться от правой и левой компонент. А в see-saw матрице, как я понимаю - диагонализация достигается ма-а-аленьким поворотом. Так что, отличие собственных состояний от чистых правых и левых незаметно.

MacSinus в сообщении #756739 писал(а):

Munin, спасибо, попробую открыть Рубакова. В любом случае, на одной книжке я не зацикливаюсь, просто Богуш очень легко пошел.

Ну, Богуша я особо не ругаю, тем более, что и не читал. Но по теории поля довольно много книг, и из них, пожалуй, Рубаков больше в top, чем Богуш.