Два неравенства

[arqady]

Докажите, что в любом треугольнике выполняются следующие неравенства.
1.

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+\frac{\cos\beta}{\cos^2{\frac{\beta}{2}}}+\frac{\cos\gamma}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\leq2$$

2.

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+\frac{2r_a}{r_a+r_b+r_c}\leq\frac{4}{3}$$

Здесь $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - величины углов против сторон с длинами $a$, $b$ и $c$ соответственно,
а $r_a$, $r_b$ и $r_c$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон с длинами $a$, $b$ и $c$ соответственно.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #755459 писал(а):

Докажите, что в любом треугольнике выполняются следующие неравенства.
1.

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+\frac{\cos\beta}{\cos^2{\frac{\beta}{2}}}+\frac{\cos\gamma}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\leq2$$

$$<=>\frac{1}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+\frac{1}{\cos^2{\frac{\beta}{2}}}+\frac{1}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{16R^2}{p^2}} \ge 4$$

[arqady]

Можно и сразу Йенсеном.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #755459 писал(а):

Докажите, что в любом треугольнике выполняются следующие неравенства.

2.

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}+\frac{2r_a}{r_a+r_b+r_c}\leq\frac{4}{3}$$

Здесь $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ - величины углов против сторон с длинами $a$, $b$ и $c$ соответственно,
а $r_a$, $r_b$ и $r_c$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон с длинами $a$, $b$ и $c$ соответственно.

$r_a+r_b+r_c=4R+r $ , $r_a=4R\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}+r $ $$<=> \frac{1}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}+\frac{8R\cos^2\frac{\alpha}{2}}{4R+r} \ge 2\sqrt{\frac{8R}{4R+r}}\ge \frac{8}{3}$$